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Bestimmen Sie die Menge aller reellen Zahlen, für welche g(x) < f(x) ist.

$$ f(x)\quad =\quad \sqrt { |x| } -1\\ g(x)\quad =\quad x\quad -\quad 1 $$

 
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Nachfrage :

meinst du

√ ( | x | -1 ) oder√ ( | x |)   -1

mfg Georg

1 Antwort

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g ( x ) < f ( x )

<=> x - 1 < √ ( | x | )  - 1

<=> x < √ ( | x | )

Fall 1: x < 0

Dann:

x < √ ( | x | )

<=> x < √ ( - x )

<=> - ( - x ) < √ ( - x )

<=> - √ ( - x ) * √ ( - x ) < √ ( - x )

<=> - √ ( - x ) < 1

Immer wahre Aussage, da sogar gilt: - √ ( - x ) < 0

also Lösungsmenge:

L1 = { x ∈ R | x < 0 }

Fall 2: x 0

Dann:

x < √ ( | x | )

<=> x < √ ( x )

<=> √ ( x ) * √ ( x ) < √ ( x )

<=> √ ( x ) < 1

<=> x < 1

also Lösungsmenge:

L2 = { x ∈ R | x ≥ 0 und x < 1 }

 

Insgesamt:

L = L1 ∪ L2 = { x ∈ R | x < 0 oder x ≥ 0 und x < 1 } = { x ∈ R | x < 1 }

Avatar von 32 k
Vielen Dank aber ich verstehe kaum was. Wieso machst du diese Fallunterscheidung?

Wieso kommst du hier auf das und unten auf was anderes?

Fall 1
x < √ ( | x | )

<=> x < √ ( - x )

Fall 2

x < √ ( | x | )

<=> √ ( x ) * √ ( x ) < √ ( x )

Die Fallunterscheidung mache ich, um den Betrag aufzulösen.

Der Betrag von x ist so definiert:

$$\left| x \right| =\left\{ \begin{matrix} -x,\quad falls\quad x<0 \\ x,\quad falls\quad x \ge 0 \end{matrix} \right\}$$

Falls also nun x < 0 ist (Fall 1), dann löst man den Betrag in der Ungleichung

x < √ ( | x | )

demgemäß so auf:

<=> x < √ ( - x )

und falls x ≥ 0 ist ( Fall 2) , dann löst man so auf:

x < √ ( | x | )

<=> x < √ ( x )

Diese letzte Zeile fehlt in meiner Antwort  (eigentlich meine ich, sie hingeschrieben zu haben...) deshalb sieht Fall 2 im Vergleich zu Fall1 etwas anders aus. Ich habe diese fehlende Zeile meiner Antwort hinzugefügt und blau markiert - schau bitte dort noch einmal nach.

Ich habe auch noch einige weitere Ergänzungen hinzugefügt und ebenfalls blau markiert.

Ich hoffe, es wird jetzt klarer.

Das mit dem Betrag habe ich jetzt verstanden. Was ich aber noch nicht verstehe...

Fall 1: x < 0

Dann:

x < √ ( | x | )

<=> x < √ ( - x )

<=> - ( - x ) < √ ( - x ) // Wieso negierst du die Linke Seite? Die Vorzeichen heben sich auf?

<=> - √ ( - x ) * √ ( - x ) < √ ( - x ) // Wie kommst du von - ( - x ) auf - √ ( - x ) * √ ( - x )

<=> - √ ( - x ) < 1 // Woher kommt die Eins?

Sorry, diese Aufgabe ist echt verwirrend für mich.

x < √ ( | x | )

<=> x < √ ( - x )

<=> - ( - x ) < √ ( - x ) // Wieso negierst du die Linke Seite? Die Vorzeichen heben sich auf?

Damit ich im nächsten Schritt - x in √ ( - x ) * √ ( - x ) zerlegen kann.

<=> - √ ( - x ) * √ ( - x ) < √ ( - x ) // Wie kommst du von - ( - x ) auf - √ ( - x ) * √ ( - x )

Nun, es ist : - ( - x ) = - √ ( - x ) * √ ( - x )

Multipliziere doch mal aus: - √ ( - x ) * √ ( - x ) = - ( √ ( - x ) ) 2 = - ( - x ) . Alles klar?

<=> - √ ( - x ) < 1 // Woher kommt die Eins?

Ich habe beide Seiten der Ungleichung

- √ ( - x ) * √ ( - x ) < √ ( - x )

durch √ ( - x ) dividiert. Dadurch fällt links eine Wurzel weg und rechts Seite ergibt sich:

√ ( - x ) / √ ( - x ) = 1

Insgesamt verbleibt also:

<=> - √ ( - x ) < 1

Jetzt verstehe ich alles aber ich bin mir bei der Lösung nicht ganz sicher. Ich habe die Kurzlösung dieser Aufgabe und da ist angegeben: x ∈ (-∞, 0) oder (0, 1). Also sind es doch offene  Intervalle. So gehört doch die 0 nicht dazu oder? Wolfram bestätigt das auch: https://www.wolframalpha.com/input/?i=x-1%3C%E2%88%9A%7Cx|+-+1+solution

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