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Aufgabe:

Es sei p(z) = anzn + an-1 zn-1 + ... + a0   ( n ∈ ℕ , z ∈ ℂ ) ein Polynom mit Koeffizienten a0 , ... , an ∈ ℝ.

Zeigen Sie, dass z0 ∈ ℂ genau dann eine Nullstelle von p ist, wenn \( \overline{z_0} \) eine Nullstelle von p ist.

Wie zeigt man das hier?

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Nutze/zeige: \( \overline{p(z)}=p(\overline{z}) \)

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Hi,

man muss zwei Dinge zeigen. Wenn \( z_0 \) Nullstelle von p ist, dann auch \( \overline {z_0} \) und umgekehrt, wenn \( \overline {z_0} \) Nullstelle von p ist, dann auch \( z_0 \)

Das Polynom p(z) kann man schreiben als \( p(z)=\sum_{k=0}^na_kz^k \)

Sei nun \( p(z_0)=0 \) Es gilt \( 0=\overline {p(z_0)}=\overline { \sum_{k=0}^na_kz^k }=\sum_{k=0}^n \overline {a_kz_0^k}=\sum_{k=0}^na_k \overline{z_0} \) Also ist \( \overline z_0 \) eine Nullstelle von p. Hier muss man benutzten das \( \overline {a_k }=a_k \) gilt, weil \( a_k \in \mathbb R \)


Die andere Richtung geht genauso.
Avatar von 39 k

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