Zeigen Sie, dass z_{0} ∈ ℂ genau dann eine Nullstelle von p ist, wenn z_{0} eine Nullstelle von p ist

Question

Aufgabe:

Es sei p(z) = a_nzⁿ + a_n-1 z^n-1 + ... + a₀   ( n ∈ ℕ , z ∈ ℂ ) ein Polynom mit Koeffizienten a₀ , ... , a_n ∈ ℝ.

Zeigen Sie, dass z₀ ∈ ℂ genau dann eine Nullstelle von p ist, wenn \( \overline{z_0} \) eine Nullstelle von p ist.

Wie zeigt man das hier?

Comments

Nutze/zeige: \( \overline{p(z)}=p(\overline{z}) \)

Answer 1

Hi,

man muss zwei Dinge zeigen. Wenn \( z_0 \) Nullstelle von p ist, dann auch \( \overline {z_0} \) und umgekehrt, wenn \( \overline {z_0} \) Nullstelle von p ist, dann auch \( z_0 \)

Das Polynom p(z) kann man schreiben als \( p(z)=\sum_{k=0}^na_kz^k \)

Sei nun \( p(z_0)=0 \) Es gilt \( 0=\overline {p(z_0)}=\overline { \sum_{k=0}^na_kz^k }=\sum_{k=0}^n \overline {a_kz_0^k}=\sum_{k=0}^na_k \overline{z_0} \) Also ist \( \overline z_0 \) eine Nullstelle von p. Hier muss man benutzten das \( \overline {a_k }=a_k \) gilt, weil \( a_k \in \mathbb R \)


Die andere Richtung geht genauso.