wie beweise ich, dass die Nullstelle der Funktion eine ganze zahl ist?

Question

Es sei f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c, wobei a, b, c ganze Zahlen sind. Beweisen Sie: Wenn eine rationale Zahl x Nullstelle dieser Funktion f ist, dann ist x eine ganze Zahl.

Answer 1

\(x=p/q\) mit \(\operatorname{ggT}(p,q)=1\) einsetzen und ein bisschen umformen und umstellen, sodass man irgendwas Interessantes folgern kann. Hier z.B. \(q\mid p^3\).

Comments

Tut mir leid, kannst du noch mehr ins Detail gehen, wie genau ich vorgehen muss?

Also in die Funktion für x p/q einsetzen, wahrscheinlich auch noch mit null gleichsetzen und wie soll ich dann umformen um auf das gewünschte Ergebnis zu kommen?

---

Fakename schlägt dir einen indirekten Beweis vor.

Annahme: Es gibt eine rationale Nullstelle, die keine ganze Zahl ist, so kannst du sie als gekürzten Bruch x = p/q darstellen.

Nun kannst du p/q in f(x) = 0 einsetzen und bekommst dann offenbar raus, dass q ein Teiler ist von p^3. Versuche das mal.