Eigenvektoren, Eigenwerte, Quadriken

Question

Aufgabe H 12.1:

Berechnen Sie die Eigenwerte sowie Eigenvektoren der Matrix $A=\left(\begin{array}{ccc}{2} & {2} & {3} \\ {0} & {-1} & {2} \\ {0} & {2} & {-1}\end{array}\right)$ und bestimmen Sie jeweils die algebraische und geometrische Vielfachheit der Eigenwerte. Zeigen Sie, dass $A$ diagonalisierbar ist, und bestimmen Sie die Matrizen $S, D \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ so, dass $D=S^{-1} A S$ eine Diagonalmatrix ist.

H.12.2/3 Transformieren Sie die Quadrik
$$\frac{1}{5}\left(2 a x_{1}^{2}+8 a x_{2}^{2}-10 x_{3}^{2}+8 a x_{1} x_{2}\right)+\frac{1}{\sqrt{5}}\left(x_{1}+2 x_{2}\right)-4 x_{3}+\frac{1}{8 a}=0$$
für $a \neq 0, a \neq-1$ in Hauptachsenlage. Geben Sie die Normalform und entsprechende Koordinatentransformation an und bestimmen Sie in Abhängigkeit von a den Typ der Quadrik.

H.12.4 Berechnen Sie die Eigenwerte sowie Eigenvektoren der Matrix $A=\left(\begin{array}{ccc}{0} & {0} & {1} \\ {1} & {0} & {1} \\ {8} & {-3} & {-1}\end{array}\right)$ und bestimmen Sie jeweils die algebraische und geometrische Vielfachheit der Eigenwerte. Zeigen Sie, dass $A$ nicht diagonalisierbar ist, und bestimmen Sie Matrizen $T, J \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ so, dass $J=T^{-1} A T$ eine Jordanmatrix ist.

H.12.5 Konstruieren Sie mithilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens eine Orthonormalbasis des von den Vektoren
$$v_{1}=(1,0,0,0,1)^{T}, \quad v_{2}=(1,0,1,0,0)^{T}, \quad v_{3}=(2,0,1,0,1)^{T}, \quad v_{4}=(0,0,0,1,0)^{T}$$
aufgespannten Teilraums des $\mathbb{R}^{5}$.

Comments

Ein Beispiel für eine Lösung mit dem Gram-Schmidtschen Verfahren bei einer andern Aufgabe findest du hier: https://www.mathelounge.de/10885/zeige-basis-gram-schmidtsche-orthog…

Jordansche Normalform kommt hier vor https://www.mathelounge.de/11848/suche-kleinsten-eigenwert-matrix-ke…

Answer 1

Das ist nur mal ein Anfang der ersten Aufgabe:

A-kE=

         2-k         2         3

(       0        -1-k         2)

         0          2      -1-k

 

Det (A-kE) = (2-k)(-1-k)^2 +0 - 4(2-k) = 0

=(2-k)((1+k)^2 -4)

=(2-k)(1 + 2k + k^2 - 4)

=(2-k)(k^2 + 2k -3)

=(2-k)(k+3)(k-1)

Die Eigenwerte

k1 = 2, k2 = -3 und k3 = 1. Alle drei verschieden, somit einfache Eigenwerte.

A ist diagonalisierbar. (Basis der Diagonalmatrix : die 3 Eigenvektoren. In der Diagonalen die 3 Eigenwerte)

Aus der ersten Spalte kann man den Eigenvektor (1,0,0) mit dem zugehörigen Eigenwert 2 ablesen.