Aufgabe H 12.1:
Berechnen Sie die Eigenwerte sowie Eigenvektoren der Matrix \( A=\left(\begin{array}{ccc}{2} & {2} & {3} \\ {0} & {-1} & {2} \\ {0} & {2} & {-1}\end{array}\right) \) und bestimmen Sie jeweils die algebraische und geometrische Vielfachheit der Eigenwerte. Zeigen Sie, dass \( A \) diagonalisierbar ist, und bestimmen Sie die Matrizen \( S, D \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \) so, dass \( D=S^{-1} A S \) eine Diagonalmatrix ist.
H.12.2/3 Transformieren Sie die Quadrik
$$ \frac{1}{5}\left(2 a x_{1}^{2}+8 a x_{2}^{2}-10 x_{3}^{2}+8 a x_{1} x_{2}\right)+\frac{1}{\sqrt{5}}\left(x_{1}+2 x_{2}\right)-4 x_{3}+\frac{1}{8 a}=0 $$
für \( a \neq 0, a \neq-1 \) in Hauptachsenlage. Geben Sie die Normalform und entsprechende Koordinatentransformation an und bestimmen Sie in Abhängigkeit von a den Typ der Quadrik.
H.12.4 Berechnen Sie die Eigenwerte sowie Eigenvektoren der Matrix \( A=\left(\begin{array}{ccc}{0} & {0} & {1} \\ {1} & {0} & {1} \\ {8} & {-3} & {-1}\end{array}\right) \) und bestimmen Sie jeweils die algebraische und geometrische Vielfachheit der Eigenwerte. Zeigen Sie, dass \( A \) nicht diagonalisierbar ist, und bestimmen Sie Matrizen \( T, J \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \) so, dass \( J=T^{-1} A T \) eine Jordanmatrix ist.
H.12.5 Konstruieren Sie mithilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens eine Orthonormalbasis des von den Vektoren
$$ v_{1}=(1,0,0,0,1)^{T}, \quad v_{2}=(1,0,1,0,0)^{T}, \quad v_{3}=(2,0,1,0,1)^{T}, \quad v_{4}=(0,0,0,1,0)^{T} $$
aufgespannten Teilraums des \( \mathbb{R}^{5} \).
