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Ich habe hier nochmal ein paar Aufgaben hochgestellt und würde morgen Abend gerne meine Ansätze dazu hochladen wollen, habe aber bisher noch keine Zeit gehabt.

Aber vielleicht habt ihr ja ein wenig mehr zeit und mögt vielleicht ein wenig rechnen.

Das wäre vorerst auch das letzte mal das ich etwas fragen werde, aber werde mich dann auch mal ein wenig mehr ans lösen anderer aufgaben machen :)

es wäre schön wenn ihr mir wieder ein wenig weiterhelfen könntet :)

H.12.12 2 3Berechnen Sie die Eigenwerte sowie Eigenvektoren der Matrix A = 0 -1 2 undO 2 -1bestimmen Sie jeweils die algebraische und geometrische Vielfachheit der Eigenwerte. Zei-gen Sie‚ dass A diagonalisierbar ist, und bestimmen Sie die Matrizen S, D € R3“ so, dassD = S-IAS eine Diagonalmatrix ist.

H.12.2/3 (entspricht 8 Punkten)Transformieren Sie die Qnadrikl (2ax2 + Saxä — 1Oxä+ 80371272) + ihr; + 2x2) — 4x3 + i = 05 1 ‘ß 8afür a 7’: 0, a 96 -1 in Hauptachsenlage. Geben Sie die Normalform und entsprechendeKoordinatentransfonnation an und bestimmen Sie in Abhängigkeit von a den Typ der Quadrik .Hinweis: zur Kontrolle (!) stehen die Eigenwerte der Matrix am Ende des Blattes.

H.12.4 (1 Zusatzpunkt möglich)0 O 1Berechnen Sie die Eigenwerte sowie Eigenvektoren der Matrix A = (1 O 1 5 imd8 -3 -1bestimmen Sie jeweils die algebraische lllld geometrische Vielfachheit der Eigenwerte. Zei-gen Sie, dass A nicht diagonalisierbar ist, und bestimmen Sie Matrizen T, J e R3“ so,dass J = T"AT eine Jordanmatrix ist.

H.12.5 (entspricht 3 Zusatzpunkten)Konstruieren Sie mithilfe des Gram-Sclnnidt-Verfahrens eine Orthonormalbasis des vonden Vektorenv1 =(1,o,0‚0,1)’"‚ v2 = (1‚0‚1,o‚o)"‚ v3 = (2, 0,1‚0‚1)T, v4 = (0,0, 0‚1‚0)Taufgespannten Teilraums des R5.

Gefragt von
Ein Beispiel für eine Lösung mit dem Gram-Schmidtschen Verfahren bei einer andern Aufgabe findest du hier: https://www.mathelounge.de/10885/zeige-basis-gram-schmidtsche-orthogonalisierungsverfahren

Jordansche Normalform kommt hier vor https://www.mathelounge.de/11848/suche-kleinsten-eigenwert-matrix-kenne-bereits-eigenwerte

1 Antwort

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Das ist nur mal ein Anfang der ersten Aufgabe:

A-kE=

         2-k         2         3

(       0        -1-k         2)

         0          2      -1-k

 

Det (A-kE) = (2-k)(-1-k)^2 +0 - 4(2-k) = 0

=(2-k)((1+k)^2 -4)

=(2-k)(1 + 2k + k^2 - 4)

=(2-k)(k^2 + 2k -3)

=(2-k)(k+3)(k-1)

Die Eigenwerte

k1 = 2, k2 = -3 und k3 = 1. Alle drei verschieden, somit einfache Eigenwerte.

A ist diagonalisierbar. (Basis der Diagonalmatrix : die 3 Eigenvektoren. In der Diagonalen die 3 Eigenwerte)

Aus der ersten Spalte kann man den Eigenvektor (1,0,0) mit dem zugehörigen Eigenwert 2 ablesen.
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