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Sei V der Unterraum von C0([0, 1], R) mit V = <f, g, h>, wobei für alle x ∈ [0, 1] gilt f (x) = 1, g (x) = x und h(x) = x².

1. Zeigen Sie, dass (f, g, h) eine Basis von V ist.

2. Zeigen Sie, dass die Abbildung (ϕ, ψ) = 1Z0ϕ(t)ψ(t)dt ein Skalarprodukt ist.

3. Welche Basis ergibt Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren?

1ZO = Integral von 0 bis 1

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1 Antwort

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Ich verstehe deine Notation für die Definition des Vektorraumes nicht so wirklich.

Verstehen würde ich, wenn V z.B. die Menge aller Polynome zweiten Grades ist, oder soetwas. Was soll dieses hf, g, hi bedeuten?

1.) kann ich daher schlecht beweisen.

2.) Das Symbol 1Z0 verstehe ich um ehrlich zu sein auch nicht so ganz, ich nehme an, es bedeutet das Integral von 0 bis 1?
Nun, falls das so ist, müssen drei Bedingungen erfüllt sein, damit es sich um ein Skalarprodukt handelt:

i) Linear in einem Argument:

<x+y, z> = <x,z> + <y,z>
<λx, y> = λ<x, y>

ii) Kommutativ:

<x, y> = <y, x>

iii) Positiv definit:

<x, x> ≥ 0, <x, x> = 0 nur für x=0

i)

$$ \begin{array} { l } { < \phi ( t ) + \psi ( t ) , \xi ( t ) > = \int _ { 0 } ^ { 1 } ( \phi ( t ) + \psi ( t ) ) \xi ( t ) d t = \int _ { 0 } ^ { 1 } ( \phi ( t ) \xi ( t ) + \psi ( t ) \xi ( t ) ) d t } \\ { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \phi ( t ) \xi ( t ) d t + \int _ { 0 } ^ { 1 } \psi ( t ) \xi ( t ) d t = < \phi ( t ) , \xi ( t ) > + < \psi ( t ) , \xi ( t ) > } \end{array} $$

Und für einen Skalar λ:

$$ \begin{array} { l } { < \lambda \phi ( t ) , \xi ( t ) > = \int _ { 0 } ^ { 1 } ( \lambda \phi ( t ) ) \xi ( t ) d t = \int _ { 0 } ^ { 1 } \lambda ( \phi ( t ) \xi ( t ) ) d t } \\ { = \lambda \int _ { 0 } ^ { 1 } \phi ( t ) \xi ( t ) d t = \lambda < \phi ( t ) , \xi ( t ) > } \end{array} $$

ii)

$$ \begin{array} { l } { < \phi ( t ) , \xi ( t ) > = \int _ { 0 } ^ { 1 } \phi ( t ) \xi ( t ) d t } \\ { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \xi ( t ) \phi ( t ) d t = < \xi ( t ) , \phi ( t ) > } \end{array} $$

iii) Hier brauchen wir noch eine kleine Abschätzung.

$$ < \phi ( t ) , \phi ( t ) > = \int _ { 0 } ^ { 1 } \phi ( t ) \phi ( t ) d t \\ = \int _ { 0 } ^ { 1 } \phi ( t ) ^ { 2 } d t \geq \min _ { 0 \geq x \geq l } \left\{ \phi ( t ) ^ { 2 } \right\} \int _ { 0 } ^ { 1 } d t = \min _ { 0 \geq x \geq l } \left\{ \phi ( t ) ^ { 2 } \right\} $$

φ(t)² ist aber immer größer oder gleich 0, also ist auch das Minimum immer größer oder gleich 0, was zu zeigen war.

Der zweite Teil ist etwas schwieriger zu zeigen. Das ganze funktioniert nicht mehr, wenn phi(t) nicht stetig ist. Ich werde es mal aus Plausibilitätsgründen erläutern:

Das Integral soll 0 sein. Allerdings addieren wir immer positive Werte auf, denn phi(t)² ist immer größer oder gleich 0. Wenn man erstmal nur von 0 bis b integriert und dabei phi irgendwo von 0 verschieden ist, kommt also zwangsläufig etwas positives heraus - das kann nun im Intervall b bis 1 aber nicht mehr ausgeglichen werden, denn dafür müsste phi² ja negativ sein, was nicht möglich ist.

3.) Das Orthogonalisierungsverfahren funktioniert folgendermaßen:

Beginne mit einem Vektor v1, er wird der erste neue Basisvektor w1. Definiere dann rekursiv:

wn = vn - <vn, wn-1>,wn-1/|wn-1|2 - ... - <vn, w1>w1/|w1|2

Beginnen wir z.B. mit w1 = 1.

Dann ist der zweite Basisvektor:

w2 = v2 - <v2, w1>w1/|w1|2

|w1| ist einfach ∫01 dt = 1.

$$ w _ { 2 } = x - \int _ { 0 } ^ { l } t d t = x - \left[ \frac { t ^ { 2 } } { 2 } \right] _ { 0 } ^ { 1 } = x - \frac { 1 } { 2 } $$

Berechnen wir erstmal |w2|:

$$ \left| w _ { 2 } \right| ^ { 2 } = < w _ { 2 } , w _ { 2 } > = \int _ { 0 } ^ { 1 } ( t - 1 / 2 ) ( t - 1 / 2 ) d t = \int _ { 0 } ^ { 1 } ( t - 1 / 2 ) ^ { 2 } d t = \left[ \frac { ( t - 1 / 2 ) ^ { 3 } } { 3 } \right] _ { 0 } ^ { 1 } = \frac { 1 } { 24 } + \frac { 1 } { 24 } = \frac { 1 } { 12 } $$


Also:

$$ w _ { 3 } = x ^ { 2 } - 12 \int _ { 0 } ^ { 1 } t ^ { 2 } \left( t - \frac { 1 } { 2 } \right) d t ( x - 1 / 2 ) - \int _ { 0 } ^ { 1 } t ^ { 2 } d t = x ^ { 2 } - 12 \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( t ^ { 3 } - \frac { t ^ { 2 } } { 2 } \right) d t \cdot ( x - 1 / 2 ) - \int _ { 0 } ^ { 1 } t ^ { 2 } d t = x ^ { 2 } - 12 \left[ \frac { t ^ { 4 } } { 4 } - \frac { t ^ { 3 } } { 6 } \right] _ { 0 } ^ { 1 } \cdot ( x - 1 / 2 ) - \left[ \frac { t ^ { 3 } } { 3 } \right] _ { 0 } ^ { 1 } = x ^ { 2 } - \frac { 12 } { 12 } \left( x - \frac { 1 } { 2 } \right) - \frac { 1 } { 3 } = x ^ { 2 } - x + \frac { 1 } { 6 } $$


Die orthogonalisierte Basis lautet also:

(1, x-1/2, x²-x+1/6)

Beantwortet von 10 k

Erst einmal vielen lieben Dank. Hier noch der Nachtrag zu der 1., ich wäre dir sehr, sehr verbunden wenn du sie auch noch machen könntest, da mir zur Zulassung noch ein paar Punkte fehlen und das hier das letzte Blatt ist. Wenn ich das nicht richtig habe, heißt es gute Nacht.

mathe

Also bei der 1 muss man doch zeigen, dass  (f,g,h) erstens ein EZS ist und zweitens linear unabhängig ist. Erstens ist ja schon in der Aufgabenstellung gegeben. Dort steht ja V = <f,g,h>, was ein EZS ist. Ich verstehe aber nicht, wie man da lin. unabh. zeigen kann.

 

Man müsste doch zeigen, dass a1*f(x) + a2*g(x) + a3*h(x) = 0 nur geht, wenn ai = 0 sind. Okay, a1 muss 0 sein. Aber ich kann ja auch x = 0 setzen und dann gilt g(x) = 0 und h(x) = 0. Also wäre das doch linear abhängig??!?!?!?! 

 

 

Sehe ich auch so.. Was bedeutet den C0? ich finde dazu Nichts im Script

C steht für alle stetigen Funktionen auf dem Intervall.

Die Lineare Unabhängigkeit habe ich aber leider auch noch nicht raus, aber es geht jedenfalls immer nur um die Skalare, nie um die x-Werte. Es muss nur gezeigt werden, dass alle a = 0 sein müssen, damit die gesamte Summe 0 ist. Einen Weg dahin habe ich aber leider noch nicht gefunden...
Hmm, also das hilft mir auch nicht so wirklich weiter. Wie habt ihr denn diese Dreiecks-Klammern definiert? Die sagen mir irgendwie auch nichts.

 

Um die lineare Unabhängigkeit von Funktionen zu zeigen, ist es übrigens notwendig, dass die Funktionen für alle x linear unabhängig sind, nicht nur für ein beliebiges. Und das ist eben nicht möglich.
<M> in einer andern Aufgabe war nach langem hin und her die lineare Hülle der Menge M. Hier:

https://www.mathelounge.de/10877/sei-ein-euklidischer-vektorraum-und-sei-eine-teilmenge-von

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