Gleichung der Ellipse bestimmen

Question

- Ein Kreis hat den Mittelpunkt  M (0/0)  und den Radius r = 4 cm.  Eine Ellipse, die denselben Mittelpunkt hat soll den halben Flächeninhalt des Kreises haben und mit ihm auf der  y-Achse gemeinsame Punkte beziehen.

 

Wie lautet die Gleichung der Ellipse?

Answer 1

Hi,

der Flächeninhalt des Kreises berecnet sich zu \( r^2\pi=16\pi \) Der Flächeninhalt der Ellipse berechnet sich mit den Halbachsen a und b zu \( A=ab\pi=8\pi \) also \( ab=8 \) Da Kreis geht durch die y-Achse bei \( \pm 4\)
und da Ellipse und kreis gemeinsame Punkte auf der y-Achse haben sollen, muss die Ellipse auch durch \( \pm 4 \) auf der y-Achse gehen. Die Ellipsengleichung lautet \( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \) Für x=0 ergibt sich \( \frac{y^2}{b^2}=1 \) also \( y = \pm b \) und deshalb muss \( b = \pm 4 \) gelten. Damit folgt dann \( a=2 \)

Comments

sorry ich versteh den Teil mit den Halbachsen a und b nicht, wie kommst du  auf die 8π ?bzw. ab =8

Ist es weil aus der Aufgabe herausgeht das die Ellipse den halben Flächeninhalt des Kreises haben soll?

und woher weiß ich das der Kreis bei der y-Achse bei ±4 durchgeht?

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Hi,

die \(  8\pi \) sind die Hälfte von \( 16\pi \) und dann folgt aus \( ab\pi=8\pi\) das gilt \( ab=8 \) durch teilen auf beiden Seiten durch \(\pi\)


Der Kreis geht um den Ursprung mit Radius 4, überleg mal wo er den die y-Achse schneiden könnte.

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stimmt, hatte das mit dem Ursprung nicht bildlich im Kopf grad, aber wenn der Radius 4 beträgt dann muss es wohl bei 4 schneiden ^^ Danke

Kannst du mir vielleicht noch den letzten Teil genauer erklären? Wieso setzt ich x =0  ein? Ist es wegen M (0 /0)  ?  Und wie komm ich auf die Gleichung dieser Ellipse ?

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lautet die Gleichung dieser Ellipse dann   x²/(2)²  +  y² / (±4 )²    ?

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Hi,

x=0 setzt man in die Funktion ein, wenn  man den y-Wert erhalten will. Deine Ellipsengleichung ist richtig, bis auf das \( \pm \), den beim quadrieren fällt ja das negative Vorzeichen weg.