Welche der Tripel sind eine Basis von V

Question

folgende Aufgabe habe ich

Es sei (v₁,...,v_n) eine Basis des Vektorraums (V,+,*). Welche der folgenden Tupel sind auch eine Basis von V?

a) (v₁,v₁+v₂,...,v₁+v₂+...+v_n)

b) (v₁-v₂,v₂-v₃,...,v_k - v_k+1,...,v_n-1 - v_n,v_n-v₁)

Ich hoffe mir kann jemand helfen. Danke

Answer 1

Um zu überprüfen, ob die Tupel auch eine Basis bilden, muß deren lineare Unabhängigkeit geprüft werden und ob sie den Raum aufspannen.

a)

v₁ = v₁

v₂ = (v1 +v2) - v1

v3 = (v1 +v2 +v3) - (v2 + v1)

etc.

Jeder Vektor v_i  läßt sich also darstellen durch die Differenz zweier aufeinander folgenden Vektoren aus dem neuen Tupel. Damit sind diese neuen n Vektoren linear unabhängig und spannen ganz V auf.

b)

Betrachte

(v1 - v2) + (v2 - v3) + … + (vn - v1) = 0

Diese Summe ergibt Null, damit sind die Vektoren linear abhängig und somit keine Basis von V.