Basen von Untervektorräumen bestimmen

Question

Es sei V der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad ≤ 3 (Vektorraum über ℝ)

Weiterhin sei:

U₁={f∈V | f(1) = 0}

U₂={f∈V | f(-1)=0}

U₃={f∈V | f ' (1) = f ' (-1) = 0}

(Untervektorräume von V) Bestimmen Sie Basen von:

U₁,U₂,U₃,U₁+U₂,U₁∩U₂, U₁+U₃,U₁∩U₃ und (U₁∩U₂)+U₃ . Welche der Summen ist direkt?

dies ist meine Aufgabe, wie zeigt man diese Basen? Und was bedeutet:Summe ist direkt?

Answer 1

Für ein Polynom f(x)=ax³+bx²+cx+d gilt f(1)=0 wenn a+b+c+d=0. Der Kern ist dreidimensional, da der Raum ein Kern einer Abb. mit Rang 1 ist, also z.B. x³-x²,x³-x,x³-1. Bei Summen von Vektorräumen kann man die Basis vereinigen und diese Menge zu einer Basis verkleinern, falls sie noch keine ist. Unter Umständen hilft es auch per Dimensionsformel zu zeigen, dass der entstehende Unterrraum volle Dimension hat. Für den Schnitt würd ich hier die Unterräume konkret bestimmen und dann die Basis bilden. Bzgl. Summe ist direkt: Schau mal in den Skript beim Stichwort direkte Summe nach.

Comments

vielen Dank für deine ausfürliche Antwort. Trotzdem weis ich nicht wirklich wie ich das hier machen soll. Aus welchen Vektoren soll ich denn nun eine Matrix zu dem jeweiligen Unterraum machen? Oder brauch ich gar keine Matrix hier aufstellen? Bin irgendwie total überfordert... :(

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Du musst überhaupt keine Matrix zu einem Unterrraum machen. Man kann jeden Unterraum als Kern einer linearen Abb./matrix beschreiben, und das ist oft nützlich, insb. um die Dimension zu bestimmen.