Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Behauptungen: a) Falls A; B 2 Mat(n; n; R) symmetrisch sind, dann ist A

Question

Aufgabe:

Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Behauptungen:

a) Falls \( A, B \in \operatorname{Mat}(n, n ; \mathbb{R}) \) symmetrisch sind, dann ist \( A \cdot B \) genau dann symmetrisch, wenn \( A \cdot B=B \cdot A \) gilt.

b) Falls \( A \in \operatorname{Mat}(n, m ; \mathbb{R}) \), dann sind \( A^{t} \cdot A \) und \( A \cdot A^{t} \) symmetrisch.

Comments

einfach nachrechnen, (AB)^T=B^TA^T verwenden.

---

also eine matrix ist symmetrisch wenn gilt A^T=A 

also ist AB symmetrisch wenn AB = (AB)^T , (AB^T) = A^TB^T    

Wie komme ich dann aber zu AB = BA?

Answer 1

Hi,

Teil a)

Du muusst zeigen, wenn \( AB \) symmetrisch ist folgt \( AB=BA \)

Es gilt \( AB=(AB)^T=B^TA^T=BA \) also gilt \( AB=BA \)

und umgekehrt gilt \( AB=A^TB^T=(BA)^T=(AB)^T \) also ist AB symmetrisch.

Teil b)

\( (AA^T)^T=(A^T)^TA^T=AA^T \) also ist \( AA^T\) symmetrisch. genauso gehts für \( A^TA\)