Bestimmen sie eine Ebengleichung in Parameterform

Question

Gegeben sind die beiden Geraden g und h mit den folgenden Gleichungen:

\( g: x = \left(\begin{array}{l}1 \\ -2 \\ 0\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 2\end{array}\right): r \in \mathbb{R} \)

\( h: x = \left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{l}2 \\ 4 \\ 5\end{array}\right): s \in \mathbb{R} \)

a) Begründen Sie, dass die beiden Geraden g und h eine Ebene E festlegen.

b) Bestimmen Sie eine Gleichung von E in Parameterform.

c) Bescheiben Sie, wie man die Gleichungen der Geraden g und h abändern kann, um zu erreichen, dass g und h parallel sind und eine Ebene festlegen.

Answer 1

zu a)

Zwei Geraden legen genau dann eine Ebene fest, wenn sie genau einen Schnittpunkt haben oder parallel zueinander sind.

Setzt man die Geradengleichungen g und h gleich, so erhält man:

( 1 | - 2 | 0 ) + r ( 1 | 2 | 2 ) = ( 2 | 0 | 2 ) + s ( 2 | 4 | 5 )

Dies führt auf das Gleichungssystem:

1 + r = 2 + 2 s
- 2 + 2 r = 4 s
2 r = 2 + 5 s

Löst man dieses Gleichungssystem, so erhält man:

r = 1 , s = 0

Es gibt also genau einen Schnittpunkt, nämlich den Punkt

( 1 | - 2 | 0 ) + 1 * ( 1 | 2 | 2 ) = ( 2 | 0 | 2 ) + 0 * ( 2 | 4 | 5 ) = ( 2 | 0 | 2 )

Somit legen die beiden gegebenen Geraden g und h eine Ebene fest.

zu b)

Eine Darstellung der durch g und h festgelegten Ebene E in Parameterform erhält man, wenn man als Ortsvektor  einen Punkt der Ebene nimmt und als Richtungsvektoren die Richtungsvektoren der beiden Geraden.

Ein Punkt der Ebene ist der in Teil a) berechnete Schnittpunkt von g und h, die Richtungsvektoren liest man aus den Geradengleichungen ab. Somit lautet eine Darstellung der Ebene E:

E : x = ( 2 | 0 | 2 ) + u * ( 1 | 2 | 2 ) + v * ( 2 | 4 | 5 )

zu c)

Zwei Geraden sind parallel, wenn der Richtungsvektor der einen Geraden ein Vielfaches des Richtungsvektors der anderen Geraden sind.

Das erreicht man vorliegend einfach dadurch dass man die dritte Komponente des Richtungsvektors von h (diese hat den Wert 5) durch den Wert 4 ersetzt. Dann nämlich gilt:

( 2 | 4 | 4 ) = 2 * ( 1 | 2 | 2 )

Zwei parallele Geraden legen genau dann eine Ebene fest, wenn sie nicht identisch sind, wenn also der Ortsvektor der einen Geraden nicht auf der anderen Geraden liegt, wenn es also vorliegend die Gleichung : 

( 1 | - 2 | 0 ) = ( 2 | 0 | 2 ) + t * ( 2 | 2 | 4 )

also das Gleichungssystem

1 = 2 + 2 t
- 2 = 2 t
0 = 2 + 4 t

keine Lösung hat.

Aus der zweiten Gleichung folgt sofort:

t = - 1

Mit t = - 1 aber sind die beiden anderen Gleichungen unwahre Aussagen. Also legen die Gerade g und die wie angegeben in ihrem Richtungsvektor abgeänderte, nun parallel zu g verlaufende Gerade h₂  eine Ebene fest.