Grenzwertberechnung lim (tan x)^{3x}

Question

Ich soll folgenden Grenzwert berechnen:

\( \lim\limits_{x \to +0} tan(x)^{3x} \)

Ich hab erst mal den Term umgeschrieben:

$$ e ^ { \lim \limits _ { x \to+0 } 3x·\ln ( \tan x ) } $$

Dann habe ich 1/3x in den Nenner geschrieben und wollte mit l´hospital den Grenzwert berechnen.

Nach ein paar Umformungen habe ich jetzt \( 2/sin(2x) \) da stehen und jetzt komme ich leider nicht weiter.

Danke für deine Hilfe :)

Comments

2/ sin(2x) wäre ja für x-----> 0+ den Grenzwert + unendlich. Der Graph hilft da nicht so viel. Man sieht nur, dass er sehr steil wird. Möglicherweise ist aber 1 die obere Grenze.

Auf 1 lässt auch die Tatsache schliessen, dass (tan 0.1^100)^{3*0.1^100} = 1.00000000… liefert.

Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28tan+0.1%5E100%29%5E%283*0.1%5E100%29

Bist du sicher, dass du am Schluss nicht 2x/sin(2x) hast?

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also ich habe als ableitung für ln(tanx) >2/sin(2x)

und für 1/3x habe ich -1/3x^2.

wenn ich das zusammenfasse habe ich dann 6x^2/-sin(2x).

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Ich hab das so weit nachgerechnet und dasselbe. Nun hast du immer noch 0/0 und kannst Hospital nochmals anwenden.

12x / -2cos(2x) = -6x / cos(2x) das ginge für x------->0+ gegen 0. Stimmt aber nicht mit der Skizze überein.

Nur Darfst du Hospital so verwenden? ln(tanx) ist gar nicht 0. ln(0) ist ja (wenn etwas: minus unendlich)

Hättest du eventuell mit

3x / (ln(tan x))^{-1} anfangen sollen?

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ich werd es mal mit 3x/lan(tanx) versuchen und mal schauen was dabei raus kommt:)

der grenzwert müsste ja 1 sein!?

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Vergiss hoch -1 nicht. Und ja. Schön wäre, wenn 1 rauskäme.

3x*ln(tan(x)) darf den Grenzwert 0 haben.

e^0 ist dann die gewünschte 1.

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Also ich habe jetzt erstmal 1/ln(tanx) abgekeitet und komme auf -2/(sin(2x)*ln^2(tanx)).

Wenn ich jetzt das mit 3x zusammen fasse komme ich auf: 3*[sin(2x)*ln^2(tanx)] / -2.

Ist das erstmal soweit richtig?

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Dein Anfang gestern war eigentlich ok. Ich hab mal die Schritt für Schritt- Auflösung von WolphramAlpha angesehen. Das wird ziemlich lang. Man muss registriert sein, um das anzusehen. Speichern gelingt irgendwie nicht ohne weitere AGBs.

In dem Momement, wo da bei dir unendlich vorkam, führen die t =1/x ein und  bestimmen dann den Grenzwert für t-----> unendlich. Zudem: unendlich/unendlich hindert die nicht daran Hospital zu verwenden.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+x+towards+0+%28%28tan+x%29%5E%283*x%29%29++

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Ich vermute, dass man die WolphramAlphaTExte nicht unbedingt publizieren sollte und möchte sie löschen, wenn du fertig bist.

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danke für deine großartige hilfe!

wie kommt man jetzt drauf 1/t einzusetzten und das gegen unendlich laufen zu lassen?

das versteh ich noch nicht so richtig.

ich hab mir das gespeichert. du kannst das wieder rausnehmen:)

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Das mit t=1/x ist so was, das beim ersten Mal Zauberei ist, beim zweiten Mal ein Trick, und das nächste Mal eine Methode.

Bei deiner Lösung im Nenner: 1/x ableiten wird ja eher komplizierter. t ableiten wird einfacher.

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ich werd das jetzt alles nochmal für mich durch rechnen und versuchen alles zu verstehen:)

ich denke mit bisschen übung werd ich das hinkriegen:)

vielen vielen dank nochmal:)

Answer 1

 

Eigentlich steht die Antwort bereits in der Diskussion im Kommentar zur Frage.

Als Zusammenfassung der Anfang und der Schluss der Diskussion:

Anfang:

2/ sin(2x) wäre ja für x-----> 0+ den Grenzwert + unendlich. Der Graph hilft da nicht so viel. Man sieht nur, dass er sehr steil wird. Möglicherweise ist aber 1 die obere Grenze.

Auf 1 lässt auch die Tatsache schliessen, dass (tan 0.1^100)^{3*0.1^100} = 1.00000000… liefert.

Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28tan+0.1%5E100%29%5E%283*0.1%5E100%29

Bist du sicher, dass du am Schluss nicht 2x/sin(2x) hast ?

Schluss:

Dein Anfang gestern war eigentlich ok. Ich hab mal die Schritt für Schritt- Auflösung von WolphramAlpha angesehen. 

In dem Momement, wo da bei dir unendlich vorkam, führen die t =1/x ein und  bestimmen dann den Grenzwert für t-----> unendlich. Zudem: unendlich/unendlich hindert die nicht daran Hospital zu verwenden.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+x+towards+0+%28%28tan+x%29%5E%283*x%29%29++