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Aufgabenstellung:
"Verwenden Sie $$\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$ zur Berechnung folgender Grenzwerte (ohne verwendung der l'Hospitalischen Regel)."


1. $$\lim\limits_{x \rightarrow 0} x \cdot \cot x$$
Mein Lösungsvorschlag: $$\lim\limits_{x \rightarrow 0} x \frac{\cos x}{\sin x} = \lim\limits_{x \rightarrow 0} x \frac{\sqrt{1 - \sin^2 x}}{\sin x} \cdot \frac{\sqrt{1- \sin^2 x}}{\sqrt{1-\sin^2 x}} = \lim\limits_{x \rightarrow 0} x \frac{1 - \sin^2 x}{\sin x(\sqrt{1-\sin^2 x})}$$ Weiter komme ich leider nicht. Ich sehe hier, dass ich hier schon die Form $$\frac{x}{\sin x}$$ habe, wobei ich aber nicht weis, wie ich jetzt nun cos x wegbekommen soll und den Nenner und den Zähler tauschen soll.


2. $$\lim\limits_{x \rightarrow \pi} \frac{\sin 3x}{\tan 5x}$$
Mein Lösungsvorschlag: $$\lim\limits_{x \rightarrow \pi} \frac{\sin 3x}{\frac{\sin 5x}{\cos 5x}} = \lim\limits_{x \rightarrow \pi} \frac{\sin 3x}{1} \cdot \frac{\cos 5x}{\sin 5x}$$ Ich könnte mir Vorstellen irgendwie dies zu benutzen: $$\sin (2x + x) = \sin 3x \cos x + \sin x \cos 2x$$ doch komme ich hiermit nicht weiter, um sin 5x umzuformen.


Wir dürfen desweiteren die Umformungen $$\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{\sin (\frac{x}{2})^2}{(\frac{x}{2})^2} \& \lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{x}\sin x = 0 $$ benutzen.
von

1 Antwort

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Beste Antwort

du machst es dir unnötig kompliziert. Versuch nicht den Wald zu sehen wo nur ein Baum steht :).

zu 1) \(\cos(0) = 1\), also

$$ \lim \limits_{x \to 0} \frac{x}{\sin(x)}\cos(x) = 1 $$

zu 2): Hier geb ich dir nur die folgenden Hinweise, vielleicht macht es dies schon offensichtlich:

$$ \cos(\pi) = -1 $$

$$ \frac{\sin(3x)}{\sin(5x)} = \frac{3 \cdot 5x \cdot \sin(3x)}{5 \cdot 3x \cdot \sin(5x) } $$

Gruß

von 24 k

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