Ableitung von z=(1/2)y^{2y}

Question

Ich habe zuerst den ln auf beiden Seiten gebildet und dann auf der Rechten Seite ln(1/2) +2y*ln(y)

ln(1/2)= 0

den Rest der rechten Seite habe ich mit der Produktregel abgeleitet. Und bin alles in allem auf folgendes Ergebnis gekommen:

z'=2ln(y)+2*1/2*y^{2y}


wo liegt der Fehler?

Answer 1

Ich habe zuerst den ln auf beiden Seiten gebildet und dann auf der Rechten Seite

Und was hast du auf der linken Seite ?

z'=2ln(y)+2*1/2*y^2y

Hier ist dein Fehler!

Nachdem du nämlich auf beiden Seiten den Logarithmus genommen  hast, hast du doch:

ln ( z ) = ln (1 / 2 ) + 2 y * ln ( y )

Ableiten ergibt:

( ln ( z ) ) ' = 0 + 2 * ln ( y ) + 2

Nun musst du auch die linke Seite formal ableiten, und zwar nach Kettenregel, weil z ja eine Funktion von y ist, also ("Innere * Äußere"): 

<=> z ' * ( 1 / z ) = 2 * ln ( y ) + 2

Auflösen nach z ' :

<=> z ' = ( 2 * ln ( y ) + 2 ) / ( 1 / z )

<=> z ' = 2 ( ln ( y ) + 1 ) * z

Und nun z durch seinen Funktionsterm ersetzen:

<=> z ' = 2 ( ln ( y ) + 1 ) * ( 1 / 2 )  y ^2y

<=> z ' = ( ln ( y ) + 1 ) * y ^2y

Comments

So hatte ich es auch vor.
Die Linke Seite ist ln(z)

abgeleitet also 1/z * z'

dann habe ich beides auf einen Bruch gebracht:

z'/z, mit z multipliziert und dann den funktionalerem für z eingesetzt. Darf ich z und z' nicht auf einen Bruch bringen?

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Ah, ich habe wohl nicht ganz richtig hingesehen. Dein Fehler liegt doch an einer anderen Stelle. Und zwar hast du beim multiplizieren mit z offenbar nicht die gesamte rechte Seite, die ja bis dahin

2 ln ( y ) + 2

lautete, mit z multipliziert, sondern nur die 2 am Ende und bist so auf

z ' = 2 ln ( y ) + 2 z  = 2 ln ( y ) + 2 ( 1 / 2) y ^{2 y}

gekommen. Richtig wäre aber natürlich gewesen:

z ' = ( 2 ln ( y ) + 2 ) z 

= ( 2 ln ( y ) + 2 ) * ( 1 / 2) y ^{2 y}

= ( ln ( y ) + 1 ) * y ^{2 y}

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Ach, jetzt verstehe ich. Ich muss also noch eine Klammer um die rechte Seite machen und dann alles mit z multiplizieren, darf also nicht einfach z hinten dranhängen und durch die Ausgangsfunktion ersetzen. Vielen Dank :)

ich war schon verwirrt und dachte meine Kenntnisse über Bruchrechnung sind grauenhaft :D dabei sind es nur meine Kenntnisse über das setzen von klammern

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ich war schon verwirrt und dachte meine Kenntnisse über Bruchrechnung sind grauenhaft :D dabei sind es nur meine Kenntnisse über das setzen von klammern

Ja, es ist schon ein wenig verwunderlich. Da beschäftigst du dich mit der logarithmischen Differentiation (und beherrschst sie offenbar auch im Wesentlichen) und hast gleichzeitig Probleme, beide Seiten einer Gleichung mit einer Zahl zu multiplizieren ...

Wie sagte schon Theo Lingen gerne in solchen Fällen (leicht näselnd):

"Traurig, traurig, traurig ... "

:-)

Aber mach dir nichts draus, das wird schon!

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Naja, dafür das ich bis vor 4 oder 5 Wochen nichtmal wusste was reelle zahlen sind, bin ich ganz zufrieden :D es muss nur für eine 4.0 in der klausur Ende Juli reichen. Da bin ich der Super Unterstützung in diesem Forum mehr als dankbar.

Answer 2

Ich mache das mal wie ich es denke. Ich hoffe du kommst damit klar.

Comments

Ich denke, dass bei dieser Aufgabe die Ableitung nicht auf eine beliebige Weise gebildet werden soll, sondern mit Hilfe der logarithmischen Differentiation.