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Beweisen oder widerlegen Sie:

a) Es existiert eine Matrix A ∈ M(2 x 2, ℝ) mit A ≠ 0 und A2=0

b) Zu jeder Matrix A ∈ M(2 x 2,ℝ) mit A≠0 gibt es eine Matrix A' ∈ M(2 x 2,ℝ) mit A · A' = E2

 

Wie gehe ich bei so einer Aufgabe vor? Ich meine ich kann mir bei A schlecht vorstellen das so eine Matrix existiert, denn wenn ich die Matrix mit sich selber Multipliziere und die Matrix keine 0 hat wie soll dann 0 rauskommen?

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Wenn \(A=\begin{pmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{pmatrix}\) ist, dann ist \(A^2=\begin{pmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1^2+a_2a_3&a_1a_2+a_2a_4\\a_1a_3+a_3a_4&a_2a_3+a_4^2\end{pmatrix}\)

Kannst du jetzt vier Zahlen \(a_1, a_2, a_3, a_4\) finden, sodass die Matrix auf der rechten Seite die Nullmatrix ist (also alle Einträge gleich Null), aber mindestens eine der Zahlen ungleich Null ist?


Wenn es zu einer Matrix A eine Matrix A' gibt  mit \(A\cdot A'=E_2\), dann ist A invertierbar und A' ist die Inverse von A.

Und eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ...

Wenn du überlegst, was dahin gehört, dann kannst du ein Gegenbeispiel finden.
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Kurze Rückfrage; Darf z.B. a1= 1 sein und a2-4=0 sein? Weil da steht A∈M(2x2,ℝ) mit A≠0...Müssen dann alle ungleich Null sein? Wenn nicht ist die Lösung:
Ja es existiert eine Matrix mit: (0,0,1,0)

Ja, es reicht, wenn ein Eintrag ungleich Null ist. Denn wenn A=0 ist, dann müssen alle Einträge ungleich Null sein. Wenn also ein Eintrag ungleich Null ist, dann ist A nicht die Nullmatrix,

Dein Beispiel stimmt also.

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zu a)

Die Aussage ist wahr:

$$A*A=0$$$$\Leftrightarrow \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$$$\Leftrightarrow \begin{pmatrix} { a }^{ 2 }+bc & ab+bd \\ ac+cd & bc+{ d }^{ 2 } \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$$$\Leftrightarrow$$$${ a }^{ 2 }+bc=0$$$$ab+bd=0$$$$ac+cd=0$$$$bc+{ d }^{ 2 }=0$$$$\Leftrightarrow ...$$$$\Leftrightarrow$$$$A=\begin{pmatrix} a & \frac { -{ a }^{ 2 } }{ c }  \\ c & -a \end{pmatrix}$$

Jede Matrix dieser Form ergibt mit sich selber multipliziert die Nullmatrix.

 

zu b)

Die Aussage ist falsch, denn es gilt:

A * A ' = E

=> A ' = A - 1

also die Inverse von A. Diese existiert aber nur, wenn A invertierbar ist, wenn also die Determinante von A ungleich Null ist.

Man konstruiere also eine Matrix, deren Determinante gleich Null ist und hat somit ein Gegenbeispiel für die Aussage, welche somit widerlegt ist.

Eine solche Matrix ist z.B.

$$A=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$$

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