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Berechnen Sie Eigenwerte und normierte Eigenvektoren der Matrizen

\( \mathbf{D}=\left(\begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad \mathbf{C}=\left(\begin{array}{rr} 3 & 5 \\ 1 & -1 \end{array}\right) \)


Meine Lösungsvorschläge:

\( D * \vec{x}=\lambda * \vec{x} \)

\( \left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right) *\left(\begin{array}{c}0 \\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 \\ -6\end{array}\right) \)

\( \vec{x}=\left(\begin{array}{c}0 \\ -3\end{array}\right) \)

\( \lambda * \vec{x}=2 *\left(\begin{array}{c}0 \\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 \\ -6\end{array}\right) \)

\( C^{*} \vec{x}=\lambda * \vec{x} \)

\( \left(\begin{array}{cc}3 & 5 \\ 1 & -1\end{array}\right) *\left(\begin{array}{c}-5 \\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10 \\ -10\end{array}\right) \)

\( \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-5 \\ 5\end{array}\right) \)

\( \lambda * \vec{x}=(-2) *\left(\begin{array}{c}-5 \\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10 \\ -10\end{array}\right) \)

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2 Antworten

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Beste Antwort

Hi Mountain, wie hast Du denn das gemacht?

Das passt nicht. Wie lauten denn die Eigenwerte bei Dir? Bestimme diese mittels der Determinante (beim ersten kann mans sogar direkt ablesen ;).

 

a)
Determinante spuckt das char. Polynom x^2-x-2 aus.

EW: -1 und 2

Das eingesetzt ergibt die Vektoren

EV: v1 = (1;0) und v2 = (0;1)

 

b)

--> x^2-2x-5

EW: -2 und 4

EV: v1 = 1/√2*(-1;1) und v2 = 1/√26*(5;1)

 

(Der Vorfaktor ergibt sich wegen der geforderten Normierung.

 

Grüße

Avatar von 141 k 🚀

Ich habe im Internet nach Eigenwerten gesucht und bin auf einer Website gestoßen, in der die Vektoren graphisch die gleiche Richtung haben müssen, z.B. (1|1) dann würde der Vektor (2|2) auch dazugehören. Immerhin habe ich 2 von 4 Werten richtig gehabt. Wie bist du auf das Polynom gekommen? Ich habe noch nie etwas vom charakteristischen Polynom gehört. Es ist halt ein neues Thema und ich weiß nicht wie man vorgehen muss.

Ja, die Richtung muss gleich sein. Dann ists der "gleiche" Vektor. Die Länge ist für uns nicht so ganz von Interesse ;). Allerdings eine Normierung sinnvoll.


Du weißt wie man eine Determinante bestimmt? Nimm in der Hauptdiagonalen überall -x und bestimme so das charakt. Polynom. Schau auch noch mal in Deinen Aufschrieben ;).

Ich habe folgendes herausgefunden:

Man bildet die Einheitsmatrix d.h. (1|0;0|1) und die Einzen werden durch λ ersetzt. Dann wird λ mit der Hauptdiagonalen multipliziert. Vielen Dank für deine Hilfe.
Ich bin nicht ganz sicher, ob Du das richtige meinst?

In meinen Worten: Nimm die Einheitsmatrix mit λ multipliziert (soweit stimme ich mit Dir überein) und subtrahiere sie von der eigentlichen Matrix. Das entspricht der Subtraktion der Hauptdiagonalelemente mit λ ;).
Ja genau, die Subtraktion ist dann der letzte Schritt. :-)
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Ich darf mich ja nicht darüber aufregen, dass ich mich ständig wiederholen muss. WIE berechnet man die Säkulardeterminante einer 2 X 2 Matrix? Beispiel c

 

       f (  x ; C ) = x ² - p x + q      ( 1 )

 

       Satz von Vieta

 

        p = E1 +  E2 = Sp ( C ) = 2   ( 2a )

       q  =  E1 E2  = det  ( C ) = ( - 8 )  ( 2b )

      f (  x ; C ) = x ²  - 2 x - 8    ( 2c )

 

       Verzichten wir mal auf die Mitternachtsformel; und lösen wir ( 2c ) richtig akademisch. Für eine quadratische Gleichung stellt sich doch ganz typisch die Alternative: Entweder sie ist prim. das Minimalpolynom ihrer Wurzeln, oder sie zerfällt in die beiden rationalen Linearfaktoren

 

       E1;2 := p1;2 / q1;2  € |Q    ( 3a )

 

     ( Da ihr ja alle brav in die Algebravorlesung geht, wisst ihr das längst. )  Schaut mal, was Pappi alles weiß.

 

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen



      In meinen Augen eine revolutionäre Erkenntnis, die sich erst seit wenigen Jahren Bahn bricht ( WARUM ist Wurzel 2 irrational? )

( An dieser Stelle melde ich dem Support zum wiederholten Male einen Bug; der gepostete Link bewirkte, dass nicht transparenter Binärcode eingebunden wurde mit der Fehlermeldung, max 8 000 Zeichen überschritten. )

Gehen wir mal von einem Polynom aus, das du analog ( 2c ) in primitiver Form gegeben hast:

f ( x ) € |Z [ x ]  := a2 x ² + a1 x + a0     ( 3b )


Dann habe ich für ( 3ab ) die beiden pq-Formeln entdeckt


p1 p2 = a0  = ( - 8 )   ( 3c )

q1 q2 = a2  = 1    ( 3d )


Allein diese Entdeckung ist der bündige Nachweis, dass Gauß nicht, wie in Wiki behauptet, der Entdecker des Satzes von der rationalen Nullstelle ( SRN ) sein kann. Gauß war ein Genie; und er sollte die Bedeutung hinter ( 3cd ) nicht durchschaut haben? Absurd.

Hier taucht ein ganz anderer Verdacht auf, der bisher noch nicht einmal geäußert wurde, geschweige belegt. Bekanntlich verfügte Gauß, der Sinus des 17-Ecks sei in seinen Grabstein einzumeißeln - makaber ...

Gauß beschäftigte sich mit dem 17-Eck u.dgl. weil er insgeheim hoffte, DIE QUADRATUR DES KREISES ZU LÖSEN.

Ihr habt verstanden, dass wir in ( 2c ) das Absolutglied 8 zerlegen müssen. Dabei gibt es die triviale Zerlegung 8 = 1 * 8 so wie die nicht triviale 8 = 2 * 4 ; letztere kommt allein in Frage. Und zwar weil E1 und E2 beide gerade Zahlen sein müssen bzw. ihr ggt 2 beträgt   - woher weiß ich jetzt auf einmal das wieder? Machen wir erst mal fertig.

Hinreichende Probe ist immer der Vieta ( 2a )  , der uns hier quasi ermöglicht, das Vorzeichen richtig herum zu drehen.

Wie ist das jetzt mit diesem ggt? Sei m ein Teiler; dann gilt in  der Notation ( 3ab )


m |  p1;2 <===> m | a1  ; |  m ² |  a0    ( 4a )


Ein m , das die rechte Seite von ( 4a )  erfüllt, möge K-Teiler des Polynoms  ( 3b ) heißen -  K wie Koeffizient. Der größte K-Teiler ist selbst redend der gkt. Die Behauptung


ggt p1;2  = gkt ( f )   ( 4b )


Und  dem Teilerfürsten Gauß, ( angeblich ) Entdecker des SRN ,  sollte der gkt nicht aufgefallen sein?

Was auch auffällt, ist das merkwürdig pennälerhaft Sterile des Wiki Aufsatzes.  Gab es in den letzten 200 Jahren auf diesem Gebiet wirklich keinen Fortschritt?

Avatar von 1,2 k

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