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Die Entwicklung der Altersverteilung einer Fischpopulation wird durch folgendes Modell beschrieben:
Der Spaltenvektor \( \vec{p}(t) \) gibt die Altersverteilung der Population im Jahr \( t \) an und hat drei Komponenten: \( p_{1} \) ist die Anzahl der Jungtiere aus dem laufenden Jahr, \( p_{2} \) die Anzahl der einjährigen Tiere und \( p_{3} \) der zweijährigen. Ein größeres Alter erreichen die Tiere praktisch nie. Die Altersverteilung im nächsten Jahr \( t+1 \) wird durch Multiplikation mit der Matrix D berechnet:

\( \vec{p}(t+1)=\mathbf{D} \vec{p}(t) \quad \text { mit } \quad \mathbf{D}=\left(\begin{array}{rrr} 0 & b & 0 \\ \frac{5}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{10} & 0 \end{array}\right) . \)

Die Elemente \( (D)_{1 j} \) (erste Zeile) geben dabei an, wieviele Nachkommen ein Tier aus der \( j \)-ten Altersklasse im Laufe eines Jahres durchschnittlich produziert, das Element \( (D)_{i j} \) mit \( i>1 \) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Tier aus der \( j \)-ten Altersklasse nach einem Jahr zur \( i \)-ten Altersklasse gehört. (Warum sind diese Elemente nur für \( i=j+1 \) ungleich Null?) Da nicht alle Tiere bis zum nächsten Jahr überleben, sind diese Zahlen stets kleiner als Eins. Wir können also beispielsweise \( (D)_{32}=\frac{2}{10} \) als die Wahrscheinlichkeit interpretieren, dass ein einjähriges Tier bis zum nächsten (dem zweiten) Jahr überlebt.

(a) Machen Sie sich die Funktionsweise des Modells anschaulich klar, indem Sie vier Populationsentwicklungen über je drei Jahre berechnen. Starten Sie dazu mit den Altersverteilungen \( \vec{p}(0)=(1,0,0)^{T}, \vec{p}(0)=(0,1,0)^{T}, \vec{p}(0)=(0,0,1)^{T} \) und \( \vec{p}(0)=\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right)^{T} . \)

(b) Es stellt sich die Frage: Gibt es eine stabile Altersverteilung der Population? Damit ist hier nicht gemeint, ob die Populationsgröße stabil bleibt, sondern ob es eine Altersverteilung gibt, bei der im nächsten Jahr das Verhältnis der Größen der Altersklassen gleich bleibt (bei u.U. kleinerer oder gröBerer Gesamtpopulation). Begründen Sie, dass sich bei der Bestimmung einer solchen stabilen Altersverteilung ein Eigenwertproblem \( \mathbf{D} \vec{p}=\lambda \vec{p} \) ergibt.

(c) Zusatzaufgabe: Lösen Sie das Eigenwertproblem und bestimmen Sie, ob die Gesamtgröße der Population bei einer stabilen Altersverteilung wächst oder abnimmt.

(d) Zusatzaufgabe: Geben Sie für eine Geburtenrate \( b=8 \) an, wieviel Prozent der Gesamtpopulation bei einer stabilen Altersverteilung ein, zwei und drei Jahre alt sind.

Ansatz:

Ich würde die Matrix D mit den einzelnen Vektoren multiplizieren Dann würde ich 4 Vektoren herausbekommen und müsste die Vektoren mit 3 multiplizieren, damit man die Populationsentwicklung über 3 Jahre als Lösungen erhält. Ist das der richtige Weg? Für die Unterstützung vergebe ich einen Punkt bzw. einen Stern!

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Ja. Das ist der richtige Weg. Ich beginne mal mit 

p0 = [1; 0; 0]
p1 = [0, b, 0; 0.5, 0, 0; 0, 0.2, 0] * [1; 0; 0] = [0; 0.5; 0]
p2 = [0, b, 0; 0.5, 0, 0; 0, 0.2, 0] * [0; 0.5; 0] = [0.5·b; 0; 0.1]
p3 = [0, b, 0; 0.5, 0, 0; 0, 0.2, 0] * [0.5·b; 0; 0.1] = [0; 0.25·b; 0]

Das machst du auch mit den anderen Anfangsverteilungen. Hier hast du noch Vergleichslösungen.

[0, [0; 1; 0];
1, [b; 0; 0.2];
2, [0; 0.5·b; 0];
3, [0.5·b^2; 0; 0.1·b]]

[0, [0; 0; 1];
1, [0; 0; 0];
2, [0; 0; 0];
3, [0; 0; 0]]

[0, [0.5; 0.25; 0.25];
1, [0.25·b; 0.25; 0.05];
2, [0.25·b; 0.125·b; 0.05];
3, [0.125·b^2; 0.125·b; 0.025·b]]

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Vielen Dank für deine Antwort und nachvollziehbare Rechnung! Wenn in der Klausur eine ähnliche Aufgabe gestellt werden würde, dann weiß ich jetzt wie man Schritt für Schritt vorgeht.

zu b)
In Aufgabe a) haben wir mehrere Anfangsverteilungen gegeben bzw. ausgerechnet. Muss man von diesen Werten jeweils λ bestimmen oder gibt es einen anderen Weg? Auf jeden Fall muss die linke Seite (Matrix) gleich der rechten Seite( λ*Anfangsverteilung) sein.

Bei b) sollst du nur Begründen das diese Aufgabenstellung ein eigenwertproblem kennzeichnet. Rechnen sollst du da selber noch nichts. Das rechnen kommt dann erst in c) dran.
Dort bestimmst du dann für die Matrix allgemein die Eigenwerte.

Das geschieht indem du die Bedingung

DET(D - k*E) = 0 nutzt.

Dort bekommst du einen Eigenwert von 0 sowie einen positiven und einen negativen. Begründe das der negative hier keinen Sinn macht und benutze den positiven Eigenwert.

Zur Beantwortung Aufgabe b):

λ ist genau dann Eigenwert von D, wenn (A-λ|) nicht invertierbar ist, d.h. wenn det (D-λ|)=0.

In der Aufgabe ist die Determinate invertierbar und somit stellt sich ein Eigenwertproblem dar. Ist das richtig?

Für deine Bemühung erhältst du neben den Punkt einen Stern!

Bei b) sollst du nicht sagen wann ein Eigenwert berechnet werden kann. Sondern eher den Sachkontext der Aufgabe so deuten warum das ein Eigenwertproblem ist.

Das Verhältnis der Klasseneinteilung soll von Jahr zu Jahr konstant bleiben. Damit sind die Populationsvektoren der unterschiedlichen Jahre linear abhängig. Die Vergrößerung oder Verkleinerund der Population wird dann vom Eigenwert bestimmt.

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