Gegeben sei eine nilpotente Matrix A ∈ Kn×n und λ ∈ K − {0} bel. . Zeigen Matrix 1n · λ + A invertierbar.

Question

Gegeben sei eine nilpotente Matrix A ∈ K^{n×n} und λ ∈ K − {0} beliebig. Zeigen Sie, dass die Matrix

1n · λ + A

invertierbar ist.

Comments

Denk an die geometrische Summenformel.

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ich habe sowas auch gedacht, aber bin nicht ganz sicher, wie ich das genau machen soll :/

Answer 1

Sei \(M := A + \lambda I_n\). Sei \(\mu\) ein Eigenwert von \(M\) und \(v\) ein zugehöriger Eigenvektor. Dann gilt$$Mv=\mu v\Leftrightarrow(A+\lambda I_n)v=\mu v\Leftrightarrow Av+\lambda v=\mu v\Leftrightarrow Av=(\mu-\lambda)v.$$Also ist \(\mu-\lambda\) ein Eigenwert von \(A\). Bekanntlich sind alle Eigenwerte von \(A\) gleich Null, da \(A\) nilpotent ist. Es folgt \(\mu=\lambda\). Wenn also \(\lambda\neq0\) ist, sind alle Eigenwerte von \(M\) von Null verschieden. Daher ist \(M\) invertierbar.