Gleichung mit Wurzel x^2−√(x^2+1)−5=0

Question

hi,

ich habe eine frage über gleichung mit x und wurzel:

x²−√(x²+1)−5=0

Comments

Ich verwende für die Wurzel die Schreibweise "hoch 0,5" : (leichter zum Tippen :)) )

x^2-5 = (x^2+1)^0,5  |quadrieren

x^4-10x^2+25 = x^2+1

x^4-11x^2+24 = 0

Substitution;  x^2 = z

z^2-11z+24 = 0

Löse diese quadr. Gleichung und resubstituiere die Ergebnisse für z_(1,2)

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Lieber Gast eh68,

ich verstehe deinen Weg trotzallem besteht noch immer ein problem. Ich komme mit deinem Lösungsweg auf x1=3 und x2=8. die vorgegeben Lösung sollte aber x1=-2*2^0,5=-2,83 und x2=2*2^0,5=2,83 sein. ich verstehe einfach nicht wie ich da hin kommen sollte.

Kannst du mir bitte nocheinmal weiterhelfen?

Danke

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3 und 8 sind die Lösungen für z. Du musst noch zurücksubstituieren:

x^2 = 8

x = +-  8^0,5 = +- 2,83

Die zweite Lösung +- 3^0,5 fält weg. Man muss die Lösungen immer nachprüfen , weil Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist.

Answer 1

x^2 - √(x^2 + 1) - 5 = 0

x^2 - 5 = √(x^2 + 1)

(x^2 - 5)^2 = x^2 + 1

x^4 - 10·x^2 + 25 = x^2 + 1

x^4 - 11·x^2 + 24 = 0

z^2 - 11·z + 24 = 0

z = 8 ∨ z = 3

x = - √3 ∨ x = √3 ∨ x = - √8 ∨ x = √8