Gleichung mit Wurzel 16-x=3(√x+2) lösen so richtig?

Question

16-x=3(√x+2)

Klammer auflösen

16-x= 3√x + 6  I - 6

10 - x = 3√x

Aber was mach ich jetzt mit der Wurzel ??

Answer 1

16 - x = 3·(√x + 2)

16 - x = 3·√x + 6

10 - x = 3·√x

(10 - x)^2 = 9·x

x^2 - 20·x + 100 = 9·x

x^2 - 29·x + 100 = 0

x = 25 ∨ x = 4

Als Lösung kommt hier nur die 4 in Frage.

Answer 2

ich würde jetzt beide Seiten quadrieren:

(10 - x)² = 9x

100 - 20x + x² = 9x | - 9x

100 - 29x + x² = 0

x² - 29x + 100 = 0 | pq

x_1,2 = 29/2 ± √(29/2)² - 100) = 29/2 ± √(841/4 - 400/4) = 29/2 ± √(441/4) = 29/2 ± 21/2

x_{1 =} 50/2 = 25

x₂ = 8/2 = 4

Probe:

16-x=3(√x+2)

16 - 25 = 3 * (5 + 2) | passt nicht

16 - 4 = 3 * (2 + 2) | passt

Die einzige Lösung ist also:

x = 4

was auch Wolfram Alpha bestätigt :-)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=16-x%3D3%28%E2%88%9Ax%2B2%29+

Besten Gruß

Answer 3

Es geht auch ohne Quadrieren und WolframAlpha:
$$ \left(\sqrt{x}\right)^2 + 3\cdot\sqrt{x} - 10 = 0 \quad\Leftrightarrow\\\,\\ \left(\sqrt{x} + 5\right)\cdot\left(\sqrt{x} - 2\right) = 0 \quad\Leftrightarrow\\\,\\ \sqrt{x} - 2 = 0 \quad\Leftrightarrow\\\,\\ x=4. $$