Hi,
Ich gehe davon aus das die Dgl. korrekt so lautet $$ x''(t)=-\omega^2x(t) $$
Du musst das charakteristische Polynom aufstellen und lösen. Es lautet hier \( \lambda^2+\omega^2=0 \) und hat die Lösungen \( \lambda=\pm i\omega \). Also gibt es zwei Lösungen der Differentialgleichung
$$ x_1(t)=e^{i\omega t} $$ und $$ x_2(t)=e^{-i\omega t}$$ Da wir hier an reellen Lösungen interessiert sind, sieht man das der Real- wie auch der Imaginärteil der Lösung reelle Lösungen sind. D.h. $$ x_1(t)=cos(\omega t)$$ und $$ x_2(t)=sin(\omega t) $$ sind Lösungen der Dgl. Damit ergibt sich die allg. Lösungen zu $$ x_H(t)=C_1x(t)+C_2x(t)=C_1cos(\omega t) + C_2 sin(\omega t) $$
