Positive Definitheit von Skalarprodukt zeigen

Question

also ich soll untersuchen, ob durch $$<x,y> := x^T A y, ~x,y \in \mathbb{ R }^2$$ mit

$$A = \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 1
\end{pmatrix}$$

ein Skalarprodukt auf R^2 definiert wird.

Dabei bin ich bei Überprüfung der positiven Definitheit darauf gestoßen, dass

$$<x,x> = (x_1 - x_2)^2$$

Jetzt muss ja gelten, dass x der Nullvektor ist, genau dann wenn <x,x> = 0 ist.

Wenn <x,x> = 0 ist, ist also $$(x_1 - x_2)^2 = 0 \Leftrightarrow x_1 = x_2$$. Das ist unter anderem wahr, wenn x1 = x2 = 0, aber das wäre doch auch für x1 = x2 = a mit a beliebig aus R wahr. Also ist x nicht zwingend der Nullvektor, wenn <x,x> = 0 ist.

Damit ist das doch kein Skalarprodukt, oder?


Danke,

Thilo

Answer 1

Du hast Recht, es ist kein Skalarprodukt. < (1,1) ,(1,1) > =0 ist ein Gegenbeispiel. Das ganze liegt daran, daa A nicht positiv definit ist.