Wie sehe ich schnell positive/negative Definitheit?

Question

Hallo liebe Mathefreunde,

ich habe Probleme mit den Eigenwerten, ich verstehe nicht so ganz, was es bedeutet, wenn alle Eigenwerte positiv definit sind.

Wenn ich z.B. Extremstellen berechne und ich habe folgende Werte als Kritische Punkte

(2,1) (-2, -1) (1,2) (-1,-2)

Und meine Hessematrix

6x	6y
6y	6x

Wie erkenne ich hier schnell, dass die Eigenwerte positiv/negativ sind?

Für den ersten Punkt hätte ich ja:

12	6
6	12

Warum ist die Matrix jetzt genau positiv definit? Reicht es schon, dass die Spur positiv definit ist, oder wie?

LG

Comments

Eine reellsymmetrische \(2\times2\)-Matrix \(\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}\) ist positiv definit, wenn \(a>0\) und \(ac>b^2\) ist.

Answer 1

Wähle einen Eintrag auf der Hauptdiagonalen, streiche die nachfolgenden Zeilen und die nachfolgenden Spalten, berechne von der verbleibenden Matrix die Determinante. Das ist ein führender Hauptminor. Die Anzahl der Spalten der verbleibenden Matrix ist die Ordnung des Hauptminors.

Wegen des Satzes von Schwartz ist die Hesse-Matrix oft symmetrisch (d.h. gleich ihrer transponierten).

Für symmetrische Matrizen gilt:

• Sie sind positiv definit, wenn alle führenden Hauptminoren positiv sind.
• Sie sind negativ definit, wenn die Vorzeichen der führenden Hautpminoren ungerader Ordnung negativ und gerader Ordnung positiv sind.

Für 2×2-Matrizen brauchst du also nur den Eintrag in Zeile 1 Spalte 1 (führender Hauptminor erster Ordnung) und die Determinante der Matrix (führender Hauptminor zweiter Ordnung).

Für 3×3-Matrizen kommt noch der führende Hauptminor dritter Ordnung hinzu, der mit der Regel von Sarrus berechnet werden kann.

Ab 4×4 möchte ich das Kriterium nicht mehr händisch anwenden.

> Warum ist die Matrix jetzt genau positiv definit?

Führender Hauptminor erster Ordnung ist 12 > 0.

Führender Hauptminor zweiter Ordnung ist 12·12 - 6·6 = 108 > 0.

Comments

Perfekt, danke dir!!!!

Zum Verständnis zu negativ definit:

Ich habe eine 3x3 Matrix und ich habe:

det("1x1") = -1det("2x2") = 1det("3x3") = -1
Dann ist die Matrix negativ definit?
Achja:

Indefinit bedeutet vermutlich, dass der 1. Hauptminor positiv und der 2. negativ usw...?
LG

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> det("1x1") = -1det("2x2") = 1det("3x3") = -1 Dann ist die Matrix negativ definit?

Richtig.

> Indefinit bedeutet vermutlich, dass der 1. Hauptminor positiv und der 2. negativ usw...?

Indefinitheit liegt auf jeden Fall dann vor, wenn positive und negative führende Hauptminoren vorkommen, die sich nicht nach dem für negative Definitheit notwendigen Muster richten.

Sind aber alle führende Hauptminoren ≥ 0, dann kann es sein, dass die Matrix nicht indefinit, sondern positiv semidefinit ist. In diesem Fall könntest du nichts über die Art der eventuellen Extremstelle sagen.

Leider gibt es kein Kriterium, das Semidefinitheit alleine anhand der führenden Hauptminoren entscheidet. Allerdings ist eine symmetrische Matrix positiv semidefinit, wenn alle Hauptminoren ≥ 0 sind.

Bei 2×2-Matrizen muss also noch der Eintrag in Zeile 2 Spalte 2 geprüft werden (also der Hauptminor, der entsteht indem die erste Zeile und die erste Spalte getrichen werden).

Bei 3×3-Matrizen muss zusätzlich zu den 3 schon geprüften Hauptminoren noch 4 weitere geprüft werden. Im Extremfall muss man also die drei Einträge der Hauptdiagonalen betrachten, vier 2×2-Determinanten berechnen und eine 3×3-Determinante berechnen.

Und zuletzt: Eine symmetrische Matrix A ist negativ semidefinit, wenn -A positiv semidefinit ist.