zeigen sie folgende aufgaben zur kompaktheit von mengen

Question

Zeigen Sie:

(a) Es sei J eine Menge, und jedem j ∈ J sei eine kompakte Menge Kj ⊆ R zugeordnet. Dann ist die Menge K := schnitt j∈J Kj ebenfalls kompakt.

(b) Es sei M eine endliche Menge, und jedem j ∈ M sei eine kompakte Menge Kj ⊆ R zugeordnet. Dann ist die Menge K := vereinigung j∈M Kj ebenfalls kompakt.

(c) Es gibt eine (unendliche) Menge J von kompakten Mengen {Kj, j ∈ J} in den reellen Zahlen, so dass K := vereinigung j∈J Kj nicht mehr kompakt ist.


Ich brauch hilfe bei dieser aufgabe. Danke

Answer 1

Nach Heine-Borel ist eine Teilmenge von \(\mathbb{R}\) genau dann

kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.

(a) Da die \(K_j\) alle abgeschlossen sind und beliebige Durchschnitte

abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind, ist \(D:=\bigcap_{j \in J}K_j\) abgeschlossen.

Sei nun \(i\) irgendein Element aus \(J\). Da \(K_i\) beschränkt ist,

gibt es endliche Zahlen \(a\lt b\), so dass \(K_i\subset [a,b]\).

Nun gilt

\(\bigcap_{j \in J} K_j\subset K_i\subset [a,b]\),

also ist \(D\) beschränkt und damit kompakt.

(b) Endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.

Seien nun die \(K_j\) beschränkt, dann gibt es Zahlen \(a_j\lt b_j\) mit

\(K_j\subset [a_j,b_j]\).

Es gilt dann offenbar \(\bigcup_{j\in J}K_j\subset [\min a_j, \max b_j]\).

(c) Betrachte \(\bigcup_{n=1}^{\infty}[\frac{1}{n},1]=(0,1]\)