Nullstellen eines Polynoms 4. Grades

Question

Was sind die 4 Nullstellen von x^4-4x^3+5x^2-2x?

Würde mich über eine Antwort freuen.

Gruß

Answer 1

x⁴-4x³+5x²-2x = 0

x * ( x^3 - 4 * x^2 + 5 * x - 2 ) = 0  => x =0
x^3 - 4 * x^2 + 5 * x - 2
Jetzt hilft nur probieren oder man sieht die 2.Nullstelle
x = 1 denn
1^3 - 4 * 1^2 + 5 * 1 - 2
1 - 4 + 5 - 2 = 0
x^3 - 4 * x^2 + 5 * x - 2 = ( x - 1 ) * ( ??? )
Polynomdivision
x^3 - 4 * x^2 + 5 * x - 2  : x - 1  = x^2  - 3x  + 2
x^3 - x^2
-----------
      - 3 * x^2 + 5 * x - 2
      - 3 * x^2 + 3x
      -----------------
                      2 * x - 2
                      2 * x  - 2
                      -----------

x^2  - 3x  + 2 = 0 
| nun mit der pq-Formel oder quadratischer Ergänzung die
beiden restlichen Lösungen noch ausrechnen

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg
 

 

 

Answer 2

x ⁴- 4 x ³ + 5 x ² - 2 x = 0

x ausklammern:

<=> x ( x ³- 4 x ² + 5 x - 2 ) = 0

<=> x = 0 oder x ³- 4 x ² + 5 x - 2 = 0

Eine Nullstelle ist also x = 0 . 

x ³- 4 x ² + 5 x - 2 = 0

Nullstelle "raten" (positive und negative Teiler des absoluten Gliedes, also der 2 , ausprobieren).
Bei x = 1 wird man fündig.

Dann Polynomdivision:

( x ³- 4 x ² + 5 x - 2 ) : ( x - 1 ) = x ² - 3 x + 2

Nun die Nullstellen von x ² - 3 x + 2 suchen. Dazu kann man die pq-Formel benutzen oder man rechnet "zu Fuß" mit der quadratischen Ergänzung:

x ² - 3 x + 2 = 0

<=> x ² - 3 x = - 2

Die quadratische Ergänzung ist: ( 3 / 2 ) ² = 1,5 ² , diese auf beiden Seiten addieren:

<=> x ² - 3 x + 1,5 ² =  1,5 ² - 2 = 0,25

Linke Seite als Quadrat schreiben:

<=> ( x - 1,5 ) ² = 0,25

Auf beiden Seiten "Wurzel ziehen":

<=> x -1,5 = + / - 0,5

<=> x - 1,5 = - 0,5 oder x - 1,5 = 0,5

<=> x = 1 oder x = 2

 

Die Nullstellen sind also:

x = 0
x = 1 (doppelte Nullstelle, also Berührstelle des Graphen und der x-Achse)
x = 2

 

Hier ein Schaubild des Graphen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x^4-4x^3%2B5x^2-2x

Man erkennt die drei Nullstellen und auch, dass die doppelte Nullstelle bei x = 1 eine Berührsstelle ist.