Ableitung eines Polynoms k-ten Grades per vollständiger Induktion, zerlegt durch NST mit Konstante

Question

Aufgabe:

Ableitung eines Polynoms k-ten Grades mit k Nullstellen: p(x) = c*(x-n1)*(x-n2)*...*(x-nk)

nk = k-te Nullstelle, c = beliebe Konstante aus N.

Problem/Ansatz:

Hallo, um bei einem Beweis weiterzukommen, müsste ich das oben beschriebene Polynom mit der Kettenregel ableiten. Ich würde p'(x) gerne in folgende Form bekommen: p(x) = c(1*(x-n2)*(x-n3) + 1*(x-n1)*(x-n3) + 1(x-n1)*(x-n2))

Ich weiss, dass ich das irgendwie mit vollständiger Induktion hinbekommen müsste. Könnte mir da jemand weiterhelfen?

Bitte seid etwas nachsichtig mit mir, das ist mein erstes Semester und ich bin nicht gerade ein Mathe-Crack^^

Grüße, Zwetschge

Answer 1

Hallo

vollständige Induktion ist die richtige Idee

nenne die Polynome nach ihrem Grad f_n

also f₁=c(x-n1) , f1'=c f_k=f_k-1*(x-nk) , daraus f_k'=f_k-1'*(x-nk)+f_k-1*1

da setzt du für f_k-1 deine vermutete Formel ein  und schon bist du fertig.

allerdings ist deine vermutete Formel falsch, in der kommen ja nur maximal x^2 vor, die Ableitung eines Polynoms n ten grades muss ja x^n-1 enthalten, d.h, in der Ableitung kommen n-1 Faktoren vor.

Versuchs mal explizit mit n= 4 dann siehst du es!

noch mal durchgelesen soll deine Formel  vielleicht nur für das Polynom mit 3 Nullstellen sein, du musst die Formel aber für k oder k-1 Schreiben und dann auf k oder k+1 die Induktion anwenden.

Gruß lul

Comments

Vielen lieben Dank erstmal für deine Antwort:) Mir ist auch aufgefallen, dass ich meine Frage ziemlich falsch formuliert habe, also Hut ab, dass du trotzdem verstanden hast, was ich meinte:)

Den Induktionsanfang habe ich mit k=3 hinbekommen, jedoch muss ich jetzt beim Induktionsschritt ja zeigen, dass die Beh. für alle k+1 gilt, also: pk+1'(x)=pk'(x)*(x-nk+1)+pk(x)

Da hänge ich gerade etwas. Hast du einen Tipp, wie ich das umformen kann, sodass ich die Induktionsbehauptung einsetzen kann?

GlG Zwetschge

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Hallo

einfach die Ind. Vors. also p_k' einsetzen  dann steht die Formel für p_k+1' schon beinahe da

den Anfang würde ich mit k=1 nicht 3 machen.

Gruß lul