2 Steckbriefaufgaben: Parabel; gegeben eingeschlossene Fläche und

Question

Aufgabe 1:

Bestimmen Sie die Gleichung einer Funktion f mit folgender Eigenschaft: Der Graph von \( f \) ist eine Parabel (vom Grad 2), die mit der \( x \)-Achse eine Flache wom Inhalt 36 FE einschließt.

Aufgabe 2:

Gegeben sind der Graph \( \mathrm{G}_{\mathrm{h}} \) der gebrochenrationalen Funktion \( \mathrm{h}(\mathrm{x})=\frac{4}{\mathrm{x}^{2}} \) und der Punkt \( B(2 \mid h(2)) \). Die Tangente \( t \) an \( \mathrm{G}_{\mathrm{h}} \) im Punkt B schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein.

a) Ermitteln Sie eine Gleichung, durch die die Tangente i beschrieben werder kann.

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.

Answer 1

Aufgabe 1.)
f ( x ) = a*x^2 + b*x + c
Schon einmal die Stammfunktion
S ( x ) = ∫ a*x^2 + b * x + c dx
S ( x ) = a*x^3/3 + b * x^2/2 + c*x

Damit die Parabel eine Fläche einschließt muß
sie 2 Nullstellen haben

Gefragt ist nach einer ( x-beliebigen ) Funktion 2.Grades.
Es gibt unendliche viele.
Um zu einer Lösung zu kommen lassen wird das
mittlere Glied einfach weg. Es wird immer noch
unendlich viele Funktionen geben.

f ( x ) = a*x^2 + c
S ( x ) = a*x^3/3 + c*x

Ich nehme einen beliebigen y-Achsenabschnitt und
rechne a aus. Schnittpunkte mit der x-Achse. x und -x
da die Parabel achsensymmetrisch zur y-Achse ist.

c willkürlich angenommen = 4

f ( x ) = a*x^2 + c
f ( x ) = a*x^2 + 4
Nullstellen : a*x^2 + 4 = 0
a*x^2 = -4
a = -4 / (x^2)

S ( x ) = a*x^3/3 + 4*x
S ( x ) = (-4/x^2) * x^3/3 + 4*x
S ( x ) = (-4/3 * x ) + 4*x
S ( x ) = x * ( -4/3 * x ) + 4*x
S ( x ) = x * ( 4 - 4/3 )
S ( x ) = x * 8 / 3
A ( x ) = [ S ( x ) ] zwischen -x  und x
A ( x ) = 8 / 3 * ( x - (-x) )
8 /3 * 2 * x = 36
x = 6.75
a = -4 / (x^2)
a = -0.0878

f ( x ) = -0.0878 * x^2 + 4

Proben
Nullstellen
f ( 6.75 ) = -0.0878 * 6.75^2 + 4
f ( 6.75 ) = 0
f ( -6.75 ) = 0
Fläche
S ( x ) = -0.0878 * x^3 /3 + 4 * x
[ -0.0878 * ( 6.75)^3 / 3 + 4 * 6.75 ] - [-0.0878 * ( -6.75)^3 / 3 + 4 * -6.75 ]
-9.0 + 27 - [ 9.0 + (-27 ) ]
54 - 18 = 36

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mfg Georg

Aufgabe 2.) kann ich nicht lesen

Comments

Vielen Dank, Nummer 2 : Gegeben sind der Graph G_h der gebrochenrationalen Funktion H(X)= 4/x²  und der Punkt B (2/h(2)). Die Tangente t an G_h Im Punkt B schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein.

a) Ermitteln sie eine Gleichung, durch die die Tangente t beschreiben werden kann.

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks

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h ( x ) = 4 / x^2
B ( 2  | h ( 2 ) )
Die Aufgabe ist sehr deutlich einfacher.
Steigung der Tangente im Punkt B
ist die erste Ableitung bei x = 2
1.Ableitung
h ´ ( x ) = -4 * 2x / x^4
h ´( x ) = -8 / x^3
h ´( 2 ) = -8 / 2^3
h ´( x ) = -1
allgemeine Geradengleichung
y = m * x + b
h ( 2 ) = h ´( 2 ) * x + b
1 = -1 * 2 + b
b = 3
Tangentengleichung
t (x ) = -1 * x + 3

Dreieck
( 0  | 0 )
( 0  | 3 ) und
Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse
0 = -1 * x + 3
-3 = -x
x = 3
( 3  | 0 )
Das rechtwinklige Dreick hat die Seitenlängen
y = 3 und x = 3
A = 3 * 3 / 2 = 4.5

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mfg Georg