Integralrechnung: Flächenberechnung unter Parabel und eingeschlossene Fläche mit Gerade

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Meine Fragen:


Habe folgende 3 Aufgaben für die ich keine Lösung finde:

Aufgabe 1: Eine Parabel 3. Ordnung hat die Gleichung f(x)=c*x-a*x^3. Die Parabel geht durch P1(1/1) und durch P2(u/0) mit u > 1. Wie groß ist der Inhalt der Fläche, den die Kurve im 1. Feld mit der x-Achse einschließt? Für welchen Wert von u ist dieser Inhalt am kleinsten und wie groß ist dieser?

Aufgabe 2: Durch den Wendepunkt der Parabel mit der Gleichung f(x)=x(x^2-1) ist eine Gerade g so zu legen, dass die Fläche. die von ihr und der Kurve eingeschlossen wird, den Betrag 1,5 hat. Berechnen Sie die Funktionsgleichung von g.

Aufgabe 3: Eine Parabel 3. Ordnung mit der Gleichung p(x)=a*x^3-b*x hat im Ursprung die Steigung -2 und begrenzt im 4. Feld mit der x-Achse eine Fläche mit dem Inhalt 8 FE. Berechnen Sie a und b.

 

Bitte um Hilfe :-/

Gefragt 7 Sep 2012 von Gast hj2466

2 Antworten

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Ich versuchs mal mit  Aufgabe 3: Eine Parabel 3. Ordnung mit der Gleichung p(x)=a*x^3-b*x hat im Ursprung die Steigung -2 und begrenzt im 4. Feld mit der x-Achse eine Fläche mit dem Inhalt 8 FE. Berechnen Sie a und b.

 

p(x)=a*x^3-b*x   

Da nur ungerade Exponenten von x vorkommen, ist die Kurve der Funktion Punktsymmetrisch bezüglich dem Koordinatenursprung. Eine Nullstelle liegt bei x=0

 

Die Bedingung 'im Ursprung die Steigung -2' führt auf:

p'(x)=3ax^2-b                p'(0)= -b = -2 ----------> b = 2

 

Für die Begrenzungen der Fläche braucht man die weiteren Nullstellen von p(x)

p(x) = x (x^2-2)  = x(x-√2)(x+√2)

Also Nullstellen x2=0,x3=√2, x1= -√2

 

Rechnung

Somit a=10

Also a=10, b=2 und

p(x)=10*x^3-2*x   

Beantwortet 7 Sep 2012 von Lu Experte XCVII
Die andern gehen wohl ähnlich. Mach einfach aus jeder Angabe eine Gleichung.

a ist falsch! Sorry. Da die Fläche im 4. Feld liegt, ist das Resultat der Integration -8 und nicht 8!

Deshalb:

-8 = a -2         -------> a = -6, b = 2 und p(x)=  -6x^3 -2x

Hoffentlich stimmt's jetzt!

Ich muss nochmals auf die Aufgabe zurückkommen, da a aus Symmetriegründen (Wendepunkt in (0/0)) gar nicht negativ sein kann, wenn die eingeschlossene Fläche im 4. Feld liegt.

In p(x) hatte ich 3a vergessen!

p(x) = x (3ax^2-2)  = 3ax(x-√(2/3a))(x+√(2/3a))

Also Nullstellen x2=0,x3=√(2/3a), x1= -√(2/3a)

Deshalb Integrationsgrenzen 0 und √(2/3a),

Nun komme ich nciht mehr auf den Formeleditor zum Einsetzen.

Rechnung

8*9a = 5

a = 5/72 ist wenigsten positiv. Bitte noch nachrechnen, obs stimmt.

Somit p(x) = 3*5/72 x^3 - 2x

 

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Das sind alles relativ anspruchsvolle Rekonstruktionsaufgaben, bei denen du aus gewissen Randinformationen Funktionen rekonstruieren musst.

Du musst jeweils die gegebenen Informationen in Formeln übersetzen und die entstehenden Gleichungssysteme lösen.

Bei deinen Beispielen funktioniert das folgendermaßen:

Aufgabe 1: Vorgegeben ist f(x)=cx-ax3

1. Information: f(1)=1

1 = c*1-a*13 = c-a

2. Information:

f(u) = 0

0 = c*u-a*u3

Das Gleichungssystem lautet also:

1 = c-a

0 = cu-au3

wobei wir darauf achten müssen, dass wir nach c und a auflösen wollen, da u später eine freie Variable sein soll, für die wir den Flächeninhalt minimieren.

Die erste Gleichung lässt sich umformen zu c=1+a

Eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt sich:

0 = (1+a)*u-a*u3

0 = u + au-au3 |+(au3-au)

au3-au = u

a*(u3-u) = u | /(u3-u)

a = u/(u3-u) = u/(u*(u2-1)) | einmal u kürzen

a = 1/(u2-1)

c = 1+a = 1+1/(u2-1) = (u2-1)/(u2-1) + 1/(u2-1) = u2/(u2-1)

 

Die Funktion lautet also fu(x) = u2/(u2-1)*x - 1/(u2-1) * x3 = (u2x-x3)/(u2-1)

Jetzt kommt es zum Integral. Wir suchen den Flächeninhalt im 1. Quadranten, also dem oberen rechten Abschnitt des Koordinatensystems.

Dafür benötigen wir zunächst die Nullstellen in diesem Bereich, diese sind aber einfach zu finden:

Die erste x=u kennen wir bereits. Die zweite lässt sich einfach an der Funktionsgleichung ablesen, sie lautet x=0. Mehr gibt es nicht; da es sich um eine Funktion dritten Grades handelt, hat sie höchstens drei Nullstellen - da sie außerdem nur ungerade Exponenten hat, ist sie punktsymmetrisch zum Ursprung und die dritte Nullstelle liegt bei x=-u.

Wir suchen also das Integral von 0 bis u:

\int _{ 0 }^{ u }{ \frac { u^{ 2 }x-x^{ 3 } }{ u^{ 2 }-1 } dx }

Entscheidend ist hier, dass die Integrationsvariable x ist - das u kann also als Konstante betrachtet werden.

Wir können also erstmal das 1/(u²-1) vor das Integral ziehen, dann sieht das alles schon gar nicht mehr so schlimm aus.

Der Flächeninhalt, den wir ausrechnen ist jetzt natürlich eine Funktion von u.

A(u)=\int _{ 0 }^{ u }{ \frac { u^{ 2 }x-x^{ 3 } }{ u^{ 2 }-1 } dx } =\frac { 1 }{ u^{ 2 }-1 } *\int _{ 0 }^{ u }{ (u^{ 2 }x-x^{ 3 })dx } \\ A(u)=\frac { 1 }{ u^{ 2 }-1 } *\left[ \frac { u^{ 2 }x^{ 2 } }{ 2 } -\frac { x^{ 4 } }{ 4 }  \right] _{ 0 }^{ u }=\frac { 1 }{ u^{ 2 }-1 } \left[ \frac { u^{ 4 } }{ 2 } -\frac { u^{ 4 } }{ 4 }  \right] \\ A(u)=\frac { u^{ 4 } }{ 4(u^{ 2 }-1) }

Um jetzt das Minimum herauszufinden, muss die Funktion einmal nach u abgeleitet werden, das funktioniert mit der Quotientenregel:

A'(u) = \frac{4u^3*4(u^2-1)-u^4*8u}{16(u^2-1)^2}=\frac{16u^5-16u^3-8u^5}{16(u^2-1)^2}\\ A'(u) =\frac {8u^5-16u^3}{16(u^2-1)^2}=\frac {u^5-2u^3}{2(u^2-1)^2}=u^3*\frac{u^2-2}{2(u^2-1)^2}

Sämtliche Lösungen lassen sich daran jetzt schon ablesen! Für das Minimum muss A'(u)=0 gelten.

Es gibt die Regel: Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren 0 ist: daraus folgt, dass entweder u3 oder u2-2 bereits 0 sein müssen. Gleichzeitig darf der Nenner dann nicht 0 sein, u darf also nicht 1 sein, was aber bereits in der Aufgabenstellung ausgeschlossen wurde.

Wir lösen die beiden entstehenden Gleichungen:

u3=0

u = 0

Allerdings ist 0<1 also nicht von der Aufgabe zugelassen.

u2-2 = 0

u2=2

u = ±√2

Die einzige Lösung, die von der Aufgabe zugelassen ist ist also u=√2.

Eingesetzt in A(u) ergibt das den Flächeninhalt:

A(√2)=√24/(4*(√22-1)) = 4/(4*(2-1))

A(√2) = 1

 

Aufgabe 2:

Als erstes muss der Wendepunkt der Funktion bestimmt werden. Für diesen gilt f''(x) = 0 sowie f'''(x) ≠ 0

f(x) = x*(x2-1) = x3-x

f'(x) = 3x2-1

f''(x) = 6x

f'''(x) = 6

Der Wendepunkt ist also (0,0).

Wir suchen also eine Funktion g, die durch den Punkt (0,0) und einen bestimmten anderen Punkt von f geht - nennen wir die Stelle dieses Punktes a, so lautet er: (a, a3-a)

Nach der Zwei-Punkte-Formel lässt sich nun die Funktionsgleichung der Funktion g ermitteln:

g(x) = mx+n

g(0) = 0 ⇒ n=0

g(a) = a3-a ⇒ m=a2-1

g(x) = (a2-1)*x

Um jetzt den Flächeninhalt zwischen beiden Funktionen zu bestimmen, muss die Differenzfunktion ermittelt und von 0 bis a integriert werden. Da sowieso nur der Betrag entscheidend ist, ist es auch egal, welche Funktion von von welcher abzieht.

Nun soll |A(a)|=1,5 gelten, also:

1,5 = a4/4

a4=6

a=4√6

 

Die Funktionsgleichung von g lautet also:

g(x) = (√6-1)*x

 

 

Beantwortet 7 Sep 2012 von Julian Mi Experte X

 

Ich hab gerade geschaut, wie du die 1. und 2. Aufgabe gelöst hast. Wird ja beliebig mühsam…

Nun aber müsste hier

g(a) = a3-a ⇒ m=a2-1

nicht 

g(a) = a3-a ⇒ m=3a2-1

rauskommen?

Nein, das ist schon richtig so.
Denn g(a) = a3-a gilt ja nur für die Stelle a! Vielleicht sollte man lieber schreiben

g(x=a) = a3-a, wenn a ist eine noch nicht fest gewählte Konstante.

Jetzt muss man die allgemeine Form von g an der Stelle a(die wir auf g(x) = m*x also g(a)=m*a reduziert hatten) mit diesem Ausdruck gleichsetzen. Das liefert:
m*a = a3-a |:a

m = a2-1

Jetzt ist mir das auch klar! Danke.

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