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Mein Problem besteht bei Aufgabenteil b). Aufgabenteil a) habe ich problemlos lösen können hab jetzt aber keine Ahnung wie ich die Funktion erstellen soll.  Nach meiner Rechnung entwickelt sich die Popuation in a) so:

am Anfang (0 Jahre): 200 Schmetterlinge

nach 4 Jahren           180 Schmetterlinge 

nach 8 Jahren           162 Schmetterlinge

nach 12 Jahren          145,8 Schmetterlinge

nach 16 Jahren          131,2 Schmetterlinge

 

Ich wäre über eine schnelle Hilfe sehr erfreut und bedanke mich schon einmal im Voraus

 

Aufgabe:

Auf einer abgelegenen Insel entdeckt ein Biologe eien bis dahin unbekannte Schmetterlingsart. Die Population umfasst zum Zeitpunkt ihrer Entdeckung folgende Individuen: 1000 Eier (E), 600 Raupen (R), 360 Puppen (P) und 200 Schmetterlinge (S). Der gesammte Entwicklungszyklus wird in jeweils einem Jahr durchlaufen.

 

Der Biologe stellt fest, dass jeder weibliche Schmetterling einmalig Eier ablegt und dann stirbt. Ein Schmetterling legt dabei stets 90 Eier. Aufgrund von Fressfeinden und schwieriger Witterung überleben nur 1/10 dieser Eier und entwickeln sich zu jeweils einer Raupe. Ein Viertel der Raupen entwickelt sich zu einer Puppe und aus 40% der Puppen schlüpft schließlich ein Schmetterling.

 

a)  Erstellen sie die Übergangsmatrix M und anschließend einige Matrizen M^n des mehrjährigen Übergangs. Tragen sie anschließend die jeweilige Anzahl der Schmetterlinge in ein Koordinatensystem ein.

b)  Stellen sie den Term einer Funktion auf, die die langfristige Entwicklung der Anzahl der Schmetterlinge - beginnend im Jahr der Entdeckung der Population - beschreibt. Die mittelfristige Entwicklung soll von dieser Funktion nicht abgebildet werden.

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Die Population umfasst ... 200 Schmetterlinge (S).
Der Biologe stellt fest, dass jeder weibliche Schmetterling einmalig
Eier ablegt und dann stirbt.

Hier fehlt mir die Angabe wieviel % der Schmetterlinge weiblich sind.

mfg Georg
sorry mein Fehler

jeder benannte Schmetterling ist weiblich.

Die anderen hab ich direkt rausgelassen
Das Ganze muß erst einmal logisch durchleuchtet werden.
Die Zählung zur Zeit t = 0 ergibt 200 Schmetterlinge.
Wird die Zählung nach t = 1 wiederholt befinden sich doch
nur die Nachkommen dieser Schmetterlinge wieder im
Schmetterlingszustand. Alles andere ist im selben Zustand
z.B. als Ei, Raupe oder Puppe.
Stimmt diese Überlegung ?
Falls ja :
200 * 90 * 0.1 * 0.25 * 0.4 = 180

mfg Georg

Wenn ich die Population nach einem Jahr mithilfe einer Matrix berechne komme ich auf diese Ergebnis:

 

 

also 144 Schmetterlinge. Das ist wie gesagt aber auch nicht das Problem es geht mir hauptsächlich um Aufgabenteil b)

2 Antworten

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Beste Antwort
Auch auf die Gefahr hin noch etwas Unruhe zu stiften

" Der gesammte Entwicklungszyklus wird in jeweils einem Jahr durchlaufen. "

Das heißt aus dem Schmetterling ist in 1 Jahr wieder ein Schmetterling
geworden inclusive aller Zwischenschritte.

Dann behaupte ich
F ( t ) = 200 * 0.9^t

mfg Georg
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b)  Stellen sie den Term einer Funktion auf, die die langfristige Entwicklung der Anzahl der Schmetterlinge - beginnend im Jahr der Entdeckung der Population - beschreibt. Die mittelfristige Entwicklung soll von dieser Funktion nicht abgebildet werden.

Langfristig gilt:

90·0.1·0.25·0.4 = 0.9

Die Abnahme über ein Zeitraum von 4 Jahren beträgt also 10%. Daher lautet die Funktion für die 200 Schmetterlinge.

f(t) = 200*0.9^{t}

Avatar von 484 k 🚀
vielen vielen Dank. Du hast mir sehr weiter geholfen

Eigentlich gebührt georgborn der Stern. Er hat darauf hingewiesen, dass der Zyklus in einem Jahr durchlaufen wird. Ich habe mich von der verkehrten Tabelle inspirieren lassen. 

Ich habe meine Funktion aber angepsst sodass sie jetzt richtig ist.

Wie gewünscht korrigiert. lg Kai
@mathecoach
Es folgt eine etwas längere Erläuterung zu den Sternen.
Es gibt Leute die machen Urlaub im Alpenraum und gehen
am Tag nach der Ankunft zum Fremdenverkehrsbüro und
holen sich einen Wanderpaß. Dieser Paß wird nun bei
jedem Hüttenbesuch mit Stempel versehen. Zum Abschluß
des Urlaubs gibt es dann die goldene Anstecknadel. Wenn
ich Urlaub im Alpenland mache gehe ich auch Spazieren oder
Wandern aber der Wanderpaß interessiert mich nicht.
Bei  angeführten Varianten sind völlig gleichwertig.

Ich bin hier im Forum um etwas Gehirnjogging zu betreiben.
Mich interessieren die Probleme und deren Lösungen.

mfg Georg
Sterne hin oder her. Ich wollte dir auch lediglich meine Anerkennung aussprechen, dass du die Aufgabenstellung viel genauer gelesen hast als ich und deswegen einen Fehler den ich gemacht habe nicht begangen hast und den ich ohne dich auch so nicht bemerkt hätte.
@georgborn und Der_Mathecoach: Ich darf euch darauf hinweisen, dass sich der Gast hj21 hier zur Zeit als Troll profiliert.

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