Man definiere die Funktionen
\( g_{1}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} x^{2} \\ y \end{array}\right), \quad g_{2}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l} \left(x^{2}+y^{2}-1\right) x \\ \left(x^{2}+y^{2}-1\right) y \end{array}\right) \)
(i) Geben Sie jeweils für \( g_{1} \) und \( g_{2} \) alle Punkte an, bei welchen die Jacobi-Matrix invertierbar ist.
(ii) Argumentieren Sie außerdem, dass \( g_{1} \) und \( g_{2} \) in einer Umgebung von \( a:=(1,1) \) invertierbar sind und berechnen sie \( \left(g_{1}^{-1}\right)^{\prime}(a) \) und \( \left(g_{2}^{-1}\right)^{\prime}(a) \).
Ansatz:
Bei (i) habe ich Determinante der Jacobi Matrizen ausgerechnet und sie gleich Null gesetzt, um zu sehen wo sie nicht invertierbar ist. Bei g1 ist det=2x, also Jacobi Matrix ist überall invertierbar ausser x=0, bei g1 ausser der stellen, an denen x^2+y^2=1 und x^2+y^2=1/3 gilt. Stimmt das? Und bei (ii) habe ich Schwierigkeiten. Dass g1 und g2 invertierbar sind, habe ich in determinante der Jacobi Matrizen (1,1) eingesetzt und gezeigt, dass sie nicht 0 ist. Ist mein Vorgehen richtig? Und wie berechne ich die Ableitungen der Umkehrabbildungen?
