Ableitung der Umkehrfunktion im Mehrdimensionalen

Question

Man definiere die Funktionen

$g_{1}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} x^{2} \\ y \end{array}\right), \quad g_{2}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l} \left(x^{2}+y^{2}-1\right) x \\ \left(x^{2}+y^{2}-1\right) y \end{array}\right)$

(i) Geben Sie jeweils für $g_{1}$ und $g_{2}$ alle Punkte an, bei welchen die Jacobi-Matrix invertierbar ist.

(ii) Argumentieren Sie außerdem, dass $g_{1}$ und $g_{2}$ in einer Umgebung von $a:=(1,1)$ invertierbar sind und berechnen sie $\left(g_{1}^{-1}\right)^{\prime}(a)$ und $\left(g_{2}^{-1}\right)^{\prime}(a)$.

Ansatz:

Bei (i) habe ich Determinante der Jacobi Matrizen ausgerechnet und sie gleich Null gesetzt, um zu sehen wo sie nicht invertierbar ist. Bei g1 ist det=2x, also Jacobi Matrix ist überall invertierbar ausser x=0, bei g1 ausser der stellen, an denen x²+y²=1 und x²+y²=1/3 gilt. Stimmt das? Und bei (ii) habe ich Schwierigkeiten. Dass g1 und g2 invertierbar sind, habe ich in determinante der Jacobi Matrizen (1,1) eingesetzt und gezeigt, dass sie nicht 0 ist. Ist mein Vorgehen richtig? Und wie berechne ich die Ableitungen der Umkehrabbildungen?

Comments

Keiner kann helfen?

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Ich habe wirklich keine Idee

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Bräuchte auch Hilfe bei der Aufgabe!