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Ich komm nicht auf die lösung dieser dgl, es wäre gut wenn es mir jemand in nachvolziehbaren schritten zeigen könnte

Hier nochmal die dgl y'+y=e^{-2x}
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ich habe gleiches Grundproblem, allerdings noch mit dem Anfangswert  y(0)=1.

Wie muss ich dann vorgehen?

Danke vorab und Grüße
Sebastian

Setze in Deiner Lösung y(0) = 1 ein und bestimme c ;).

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Hi,

löse erst die homogene DGL, also betrachte vorerst y'+y = 0

Ansatz mit y = e^{kx} und damit auch y' = k*e^{kx}

--> k*e^{kx} + e^{kx} = 0   |:e^{kx}

k + 1 = 0

k = -1

 

Die homogene Lösung ist also: yh = c*e^{-x}

 

Für die partikuläre Lösung wähle den Ansatz (rechte Seite Ansatz): y = p*e^{-2x}

Damit ist dann auch y' = -2p*e^{-2x}

--> -2p*e^{-2x} + p*e^{-2x} = e^{-2x}   |Koeff.vergleich

-2p + p = 1

-p = 1

p = -1

Die part. Lösung lautet also: yp = -e^{-2x}

 

Insgesamt haben wir demnach:

y = yh + yp = c*e^{-x} - e^{-2x}

 

Grüße

Avatar von 141 k 🚀
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Bekanntlich ist \(y=c\cdot e^{-x}\) Lösung der homogenen DGL \(y'+y=0\). Bestimme nun die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL durch Variation der Konstanten \(c\).$$\text{Es ist }y'+y=e^{-2x}$$$$\Leftrightarrow c'\cdot e^{-x}-c\cdot e^{-x}+c\cdot e^{-x}=e^{-2x}$$$$\Leftrightarrow c'=e^{-x}$$$$\Leftrightarrow c=-e^{-x}+k.$$Also lautet die allgemeine Lösung \(y=c\cdot e^{-x}=k\cdot e^{-x}-e^{-2x}\).
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