In welchem Dreieck ist das Produkt der Winkel maximal? Summe von Dreieckswinkeln ist π.

Question

Bekanntlich gilt in jedem Dreieck für die Summe der Winkel \( \alpha+\beta+\gamma=\pi \). In welchem Dreieck ist das Produkt der Winkel \( \alpha \cdot \beta \cdot \gamma \) am größten?

Answer 1

a + b + c = pi
b = pi - a - c

P = a * b * c = max.

P = a * b * c = a * (pi - a - c) * c = - a^2·c - a·c^2 + pi·a·c

P'(a) = - a^2·c - a·c^2 + pi·a·c = 0
a = (pi - c)/2

b = pi - (pi - c)/2 - c = (pi - c)/2

Bei gegebenem c sind also a und b gleich groß zu wählen.

Daher liegt es nah, das ein Gleichseitiges Dreieck das größte Produkt hat.