Aufgabe: Berechnung des Konvergenzradius

Question

Man bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe

$$f\left( x \right) =\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ a_{ n } } { x }^{ 2n }={ x }^{ 2 }+\frac { 2 }{ 3 } { x }^{ 4 }+\frac { { 2 }^{ 2 } }{ 5 } { x }^{ 6 }+\frac { { 2 }^{ 3 } }{ 7 } { x }^{ 8 }+\quad ...$$

Answer 1

\(\sum\frac{2^{n-1}}{2n-1}x^{2n}=\sum\frac{2^n}{4n-2}x^{2n}=\sum\frac{1}{4n-2}(2x^2)^n\).

Mit der Variablen \(z=2x^2\) wird diese Reihe zu \(\sum\frac{1}{4n-2}z^n\).

Mit der Quotientenmethode erhält man für diese Reihe den Konvergenzradius 1,

also \(|z|\lt 1\iff |2x^2|\lt 1\iff |x^2|\lt 1/2\iff |x|\lt\frac{1}{2}\sqrt{2}\).

Der Konvergenzradius ist also \(\frac{1}{2}\sqrt{2}\).