Trassierungen knick- und ruckfrei? Gesucht wird eine Funktion 4. Grades.

Question

Aufgabe:

2 Geraden sollen knick- und ruckfrei miteinander verbunden werde. Die Funktion die gesucht ist soll 4. Grades sein.

Graph f: P1(-2/0), m=2

Graph g: P2(2/0), m=-2

Diese Bedingungen fand ich heraus und weiß nicht ob sie richtig sind:

f(x)=v(x)
f′(x)=v′(x)
f′′(x)=v′′(x)
g(x)=v(x)
g′(x)=v′(x)
g′′(x)=v′′(x)

Zahlen hab ich auch schon in die Gleichungen eingesetzt, jedoch kommt immer 0=0 heraus. Selbst wenn meine Bedingungen jetzt richtig sind, weiß ich nicht, wie es nun weitergeht.

Answer 1

Graph f: P1(-2/0), m=2                Graph g: P2(2/0), m=-2

Da man eigentlich 6 bedingungen hat müsste man einen allgemeinen Ansatz mit einer Funktion 5. Grades machen.

g(x) = a·x^5 + b·x^4 + c·x^3 + d·x^2 + e·x + f

g(-2) = 0
32·a - 16·b + 8·c - 4·d + 2·e - f = 0

g'(-2) = 2
80·a - 32·b + 12·c - 4·d + e = 2

g''(-2) = 0
160·a - 48·b + 12·c - 2·d = 0

g(2) = 0
32·a + 16·b + 8·c + 4·d + 2·e + f = 0

g'(2) = -2
80·a + 32·b + 12·c + 4·d + e = -2

g''(2) = 0
160·a + 48·b + 12·c + 2·d = 0

Ich löse das entstehende LGS und erhalte: a = 0 ∧ b = 0.03125 ∧ c = 0 ∧ d = -0.75 ∧ e = 0 ∧ f = 2.5

Die Funktion lautet daher

g(x) = 0.03125·x^4 - 0.75·x^2 + 2.5

Answer 2

Hallo Janina,

Graph f: P1(-2/0), m=2              
Graph g: P2(2/0), m=-2

v ( x ) = ax⁴ + b*x³ + cx² + dx + e
v´( x ) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d

v ( -2 ) = 0
v ´( -2 ) = 2
v ( 2 ) = 0
v ´ ( 2 ) = -2

Die Aufgabe läßt sich nur dann lösen wenn man ruckfrei
als krümmungsruckfrei versteht. Die 2.Ableitung an den
beiden Punkten ist dann identisch.
Die Krümmung der beiden Geraden ist 0. Wie jede Gerade.
v ´´ ( x ) = 12ax^2 + 6bx + 2c
v ´´ ( -2 ) = 0
v ´´ (  2 ) = 0
Funktioniert leider nicht . c kommt mal so und anders heraus.

Dann kann ich nur anbieten

v ( -2) = a*(-2)⁴ + b*(-2)³ + c*(-2)² + d*(-2) + e = 0
v´( -2 ) = 4a*(-2)³ + 3b*(-2)² + 2c*(-2) + d = 2
v ( 2 ) = a*2⁴ + b*2³ + c*2² + d*2 + e = 0
v´( 2 ) = 4a*2³ + 3b*2² + 2c*2 + d = -2

16* a  - 8*b + 4 * c  - 2 * d + e = 0
-32 * a + 12 * b  - 4 * c + d = 2
16 * a + 8 * b + 4 * c + 2 * d + e = 0
32 * a  + 12 * b + 4 * c + d = -2

Das Gleichungssystem mit 5 Unbekannten und 4 Aussagen
ist nicht lösbar.

Ich hoffe ich habe dir etwas weiter geholfen.
Vielleicht findet jemand anderes ja noch eine Lösung.

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

Nachtrag : es geht weiter.
Die beiden Geraden sind achsensymmetrisch
( spiegelbildlich ) zur y-Achse.
Dann müßte es die gesuchte Funktion auch sein:
v ( x ) reduziert sich zu :
v ( x ) = ax⁴ + cx²  + e
und
v´( x ) = 4ax³  + 2cx

16* a   + 4 * c   + e = 0
-32 * a   - 4 * c  = 2
16 * a  + 4 * c  + e = 0  | doppelt, siehe 1.Zeile
32 * a  + 4 * c  = -2  | wenn ich die Zeile mit (-1) multipliziere erhalte ich Zeile 2

16* a   + 4 * c   + e = 0
32 * a  + 4 * c  =  -2

Unglücklichsterweise haben wir nur noch
2 Gleichungen mit 3 Unbekannten

Wie geht es weiter ?

mfg Georg

v ( x ) habe ich weiter reduziert auf :
v ( x ) = ax⁴   + e
und
v´( x ) = 4ax³ 

16* a   + e = 0
32 * a    =  -2
a = -1/16
e = 1
v ( x ) = -1/16 * x^4   + 1
v ´ ( x ) = -1/4 * x^3  
Die Funktion und die 1.Ableitung stimmen überein
Proben
v ( -2 ) = 0
v ´ ( -2 ) =  2
v ( 2 ) = 0
v ´ ( 2 ) =  -2

So, jetzt müßte es stimmen.

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

Comments

Im Nachbarforum heißt es :

" III) Krümmung betrachten (Ruckfreiheit = Wendepunkt im
Anschschlußpunkt) .... "
Stimmt das ? Muß der Anschlußpunkt immmer die Krümmung 0
haben und ein Wendepunkt sein?
Gefordert ist durch
a ( x) ´´ = b ( x ) ´´ doch nur die gleiche Krümmung.

Wir hatten solche Fälle schon ein paar Mal.

Mathematisch am einfachsten wären die Formulierung :
im Anschlußpunkt sollen auch die 1. und 2.Ableitung gleich
sein.
Oder
man bedient sich des Begriffs Berührpunkt :
Berührpunkt 1.Ordnung a´ = b´
Berührpunkt 2.Ordnung a´´ = b´´
Oder
Steigung und Krümmung sollen gleich sein

mfg Georg