Was bedeutet ein knickfreier und was ein krümmungsruckfreier Übergang?

Question

Aufgabe:

Hallo,

ich muss bald eine Klausurersatzleistung über Trassierungsaufgaben machen und ich soll darin knickfreie Übergänge und krümmungsruckfreie Übergange erklären.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass man für krümmungsfreie Übergänge mit der 2. Ableitung arbeitet und für knickfreie mit der 1. Ableitung. Ich weiß auch, wie man damit rechnet. Was mir fehlt ist eine Definition der Übergänge und eine Begründung warum man gerade diese Ableitungen benutzt. Außerdem was ist etwas vollständig knickfrei, krümmungsfrei? gibt es da Bedingungen die bestimmte Funktionen zueinander haben müssen?

Bitte helft mir, ich steh ein wenig auf dem Schlauch, was das Thema angeht.

Answer 1

Hallo,

hast du bei "Definition" an so etwas gedacht?

"Eine Funktion f sei für x < a definiert durch den Funktionsterm \(f_1(x)\)und für \(x≥a\) durch den Funktionsterm \(f_2(x)\). Gilt an dieser Übergangsstelle a zwischen den Definitionsbereichen, dass

• \(\lim\limits_{x\to a}f_1(x)=\lim\limits_{x\to a}f_2(x) \text{  und  } \lim\limits_{x\to a}f'_1(x)=\lim\limits_{x\to a}f'_2(x),\) dann ist der Übergang differenzierbar (glatt, knickfrei), d.h., an der Übergangsstelle stimmen die Funktionswerte sowie die (Tangenten-)Steigungen überein;

• \(\lim\limits_{x\to a}f_1(x)=\lim\limits_{x\to a}f_2(x) \text{  , } \lim\limits_{x\to a}f'_1(x)=\lim\limits_{x\to a}f'_2(x),\text{ und }\lim\limits_{x\to a}f''_1(x)=\lim\limits_{x\to a}f''_2(x),\) dann ist der Übergang (krümmungs-)ruckfrei. An der Übergangsstelle stimmen die Funktionswerte, die (Tangenten-)Steigungen sowie die Krümmungen der Graphen überein."

Comments

ehrlich gesagt nein

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Dann reicht es, wenn du sagst, dass ein knickfreier Übergang dann besteht, wenn an der Stelle die Funktionswerte und die Steigungen (= 1. Ableitung) übereinstimmen und der Übergang krümmungsruckfrei ist, wenn die Funktionswerte, die Steigungen und die Krümmungen (= 2. Ableitung) übereinstimmen.

Answer 2

Hallo,

mal angenommen, die Funktion beschreibt den Verlauf eines Weges. In diesem konkreten Fall den eines Fahrradweges und der soll auch noch beliebig schmal sein. D.h. das Fahrrad soll sich exakt auf dieser Linie bewegen.

Hätte dieser Weg einen Knick, dann würde das ja bedeuten, dass man mit dem Fahrrad bis zum Knick fährt, dann anhält und dann das Fahrrad so dreht, dass man auf den anschließenden Teil der Funktion weiter fahren kann. Das will man natürlich nicht - also sollte der Weg knickfrei sein.

Was bedeutet nun 'krümmungsruckfrei'? Du weißt, dass Du Dich mit dem Fahrrad in die Kurve legen musst, um die Fliehkräfte auszugleichen, die Dich sonst aus der Kurve tragen würden. Nun stelle Dir eine Kreisbahn vor, die ab einem gewissen Punkt in eine gerade Strecke übergeht. Ein Knick ist dort nicht vorhanden - die Richtungen von Kreis und Gerade stimmen in an der Nahtstelle überein. Aber am Punkt des Übergangs müsste das Fahrrad noch Schräglage haben, um um die Kurve zu kommen. Gleichzeitig müsste es aber auch senkrecht stehen, um auf dem geraden Stück nicht umzufallen. Beides ist nicht möglich. Also kann diese Stelle nicht mit einer endlichen Geschwindigkeit durchfahren werden.

Das will man natürlich auch nicht - der Übergang sollte 'krümmungsruckfrei' sein. Die 2.Ableitung gibt die Änderung der ersten (also der Richtung) an und ist ein Maß für die Krümmung. Und die Krümmung und somit die 2.Ableitung sollte daher keine Sprünge haben. Heißt: sollte stetig sein.

Falls etwas unklar ist, bitte nachfragen.

Gruß Werner