Funktionsgleichung aus Asymptoten x=4, x=-0.5 und y=-5 bestimmen

Question

x = 4

x = - 0,5

y= -5

$$ f ( x ) = - 5 + \frac { 1 } { ( x - 4 ) \left( x + \frac { 1 } { 2 } \right) } $$

Das habe ich jetzt einfach aus Erfahrung gemacht.

Aber wie macht man sowas rechnerisch?

Comments

Wie meinst du das jetzt?

Gegeben Asymptoten und Funktionsgleichung ist aufzustellen: Musst du mit Hilfe deiner Erfahrung machen.

Umgekehrt Funktionsgleichung gegeben. Asymptoten gesucht: Vertikale Asymptoten gehen durch die Nullstellen des Nenners. Horizontale As. Grenzwert x--> ± unendlich ansehen.

Answer 1

Hi,

die senkrechten Asymptoten sind wirklich einfach abzulesen. Das passt.

Bei Bedarf muss man eventuell noch schauen, ob sie sich mit der Zählernullstelle kürzen, aber das ist hier offensichtlich nicht der Fall.


Für die waagerechte Asymptote schaue was passiert, wenn x->±∞ geht.

Da geht der letzte Summand gegen 0, -5 ist also in der Tat die waagerechte Asymptote ;).


Grüße

Comments

Ich weiß jetzt nicht, ob du mich verstanden hast.

Oder ich deine Antwort auf meine Frage nicht verstehe.

Ich meine:

Man hat nur Asymptoten/Grenzen gegeben und man soll anhand dieser die entsprechende Funktionsgleichung aufstellen.

Zum Beispiel hat man die Grenzkurve g(x) = x² + 2x +1 und einen einfachen Pol x=1 gegeben.

In dem Fall kenne ich sie:

$$ \begin{array} { l } { f ( x ) = x ^ { 2 } + 2 x + 1 + \frac { 1 } { x - 1 } } \\ { f ( x ) = ( x + 1 ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { x - 1 } } \\ { f ( x ) = \frac { ( x + 1 ) ^ { 2 } ( x - 1 ) } { x - 1 } + \frac { 1 } { x - 1 } } \\ { f ( x ) = \frac { ( x + 1 ) ^ { 2 } ( x - 1 ) + 1 } { x - 1 } } \\ { f ( x ) = \frac { x ^ { 3 } + x ^ { 2 } - x } { x - 1 } } \\ { f ( x ) = \frac { x ^ { 3 } + x ^ { 2 } - x } { x - 1 } } \end{array} $$

Gibt es eine Rechenweise die entsprechende Funktionsgleichung zu bestimmen?

Denn so kann ich das ja nur irgendwie mit Erfahrung rekonstruieren.

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Aso, da habe ich Dich in der Tat falsch verstanden.

Dabei ist völlig richtig was Du machst. Das ist "Rechnung" genug.

Ich würde es sogar nicht mal umformen, wenn es nicht explizit verlangt ist?!

Da ist die Frage worauf man die Priorität legt. Bei Deiner Endform kann man natürlich die Nullstelle gut ablesen. Bei der Anfangsform erkennt man die richtige Umsetzung der Bedingungen :).

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Hmm, ich weiß nicht wie ich das erklären soll. ^^

Die Umformungen sind mir gar nicht so wichtig.

Sondern die Herleitung der aller ersten Gleichung.

Also dass ich überhaupt auf die kommen kann.

Denn so setze ich sie einfach nur aus Erfahrung zusammen.

Meine Frage ist jedoch, ob es eine Art und Weise gibt, diese erste Form rechnerisch herzuleiten?

Also nur anhand dieser Informationen mithilfe von irgendwelchen Methoden.

Oder ist das so banal wie als würde man die Aufgabe haben, aus einem Scheitelpunkt die Funktionsgleichung einer Parabel zu konstruieren.

Beispiel:

Gegeben: Normalparabel m = 1, Scheitelpunkt S (2; 2)

Gesucht: Funktionsgleichung der Normalparabel
=> f(x) = (x-2)²+2

Fertig, einfach nur, weil man das weiß.

Liebe Grüße.

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Yup, hab Dich nun schon verstanden. Und ja, das ist so "Banal" -> Du verwandeltst die gegebene Information in einen Ausdruck...da gibt es nichts zu rechnen. Du kannst daraus direkt die erstzeilige Funktionsgleichung angeben. ;)