Totales Differenzial einer Kugel. Relativer Fehler des Kugelvolumens soll 1% nicht übersteigen.

Question

Mit welcher Genauigkeit muss man den Radius einer Kugel messen, damit der relative Fehler bei der Berechnung des Kugelvolumens 1% nicht übersteigt? Verwenden Sie zur Lösung das totale Differential.

Die Formel ist ja:

V=4/3 Pi * R^3

Leite ich dann nach R ab?

VR=4/3 Pi * 3R

und jetzt?

Comments

Warum nicht R^3 beim Volumen einer Kugel?

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Oh, danke! Da habe ich mich verschrieben!

Also richtig wäre dann:

V = 4/3 Pi * R^3

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Wie kann ich die Aufgabe lösen? Weiss keiner Rat?

Answer 1

Für den relativen Fehler R des Kugelvolumens gilt:

 

R = dV/V

Für das totale Differential dV gilt

 

dV = 4Pi*R² dR

Daraus folgt

dV/V = 4Pi*R² dR / (4/3 Pi R³) = 3 dR/R

Nun soll gelten:

dV/V ≤ 0,01

Also:

3 dR/R ≤ 0,01

dR/R ≤ (0,01)/3

 

Der Radius muss also auf ein Drittel Prozent genau gemessen werden.