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Aufgabe:

Man zeige, dass bei funktionalen Zusammenhängen der Form

y=f(x1 , ..., xm) := c* (x1*...*xr)/((xr+1*...*xm)   , 1 < r ≤ m

der relative Fehler bei Störungen in erster Ordnung abschätzbar ist wie

Δy/y ≤ Σ (i=1 bis m) Δxi / xi

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Numerik - relativer Fehler erster Ordnung abschätzen

Um die gegebene Aufgabe zu lösen, betrachten wir den funktionalen Zusammenhang:

y=f(x1,...,xm) : =c(x1...xr)(xr+1...xm)y=f(x_1, ..., x_m) := \frac{c(x_1 \cdot ... \cdot x_r)}{(x_{r+1} \cdot ... \cdot x_m)}

und wollen zeigen, dass der relative Fehler Δyy\frac{\Delta y}{y} bei Störungen in erster Ordnung wie folgt abschätzbar ist:

Δyyi=1mΔxixi\frac{\Delta y}{y} \leq \sum_{i=1}^{m} \frac{\Delta x_i}{x_i}

Vorgehensweise:

1. Wir betrachten zunächst die Änderung Δy\Delta y von yy durch geringfügige Änderungen Δxi\Delta x_i in jeder der Variablen xix_i.
2. Dann leiten wir yy partiell nach jeder der Variablen xix_i ab, um den Effekt einer kleinen Änderung in xix_i auf yy zu messen.
3. Danach drücken wir den relativen Fehler von yy aus.
4. Zum Schluss summieren wir die relativen Fehler der xix_i auf, um die angegebene Ungleichung zu erreichen.

Schritt 1: Definition des relativen Fehlers

Der relative Fehler von yy ist definiert als Δyy\frac{\Delta y}{y}, und der relative Fehler von xix_i als Δxixi\frac{\Delta x_i}{x_i}.

Schritt 2: Partielle Ableitungen

Die partielle Ableitung von yy nach xix_i für iri \leq r (im Zähler) ist:
yxi=cx1...xi1xi+1...xrxr+1...xm \frac{\partial y}{\partial x_i} = \frac{c \cdot x_1 \cdot ... \cdot x_{i-1} \cdot x_{i+1} \cdot ... \cdot x_r}{x_{r+1} \cdot ... \cdot x_m}
Für i>ri > r (im Nenner) ist:
yxi=c(x1...xr)(xr+1...xi1xi+1...xm)2 \frac{\partial y}{\partial x_i} = -\frac{c \cdot (x_1 \cdot ... \cdot x_r)}{(x_{r+1} \cdot ... \cdot x_{i-1} \cdot x_{i+1} \cdot ... \cdot x_m)^2}

Schritt 3: Relative Fehler

Nun nutzen wir die lineare Approximation, um den relativen Fehler durch die partiellen Ableitungen auszudrücken:
Δyi=1myxiΔxi \Delta y \approx \sum_{i=1}^m \frac{\partial y}{\partial x_i} \Delta x_i
Teilt man beide Seiten durch yy, erhält man:
Δyyi=1myxiΔxiy \frac{\Delta y}{y} \approx \sum_{i=1}^m \frac{\partial y}{\partial x_i} \frac{\Delta x_i}{y}
Da y=c(x1...xr)(xr+1...xm)y = \frac{c(x_1 \cdot ... \cdot x_r)}{(x_{r+1} \cdot ... \cdot x_m)}, können die partiellen Ableitungen entsprechend durch yy ausgedrückt werden, was zu folgendem führt:
Δyyi=1rΔxixii=r+1mΔxixi \frac{\Delta y}{y} \approx \sum_{i=1}^r \frac{\Delta x_i}{x_i} - \sum_{i=r+1}^m \frac{\Delta x_i}{x_i}
Beachten Sie, dass die negative Änderung für i>ri > r durch die Struktur der Funktion kommt und wir davon ausgehen, dass Δxi\Delta x_i so klein ist, dass das Vorzeichen des gesamten Terms positiv bleibt.

Schritt 4: Zusammenfassung

Da die Abschätzung den Betrag des relativen Fehlers betrachten sollte, wird die Ungleichung:
Δyyi=1mΔxixi \left| \frac{\Delta y}{y} \right| \leq \sum_{i=1}^m \left| \frac{\Delta x_i}{x_i} \right|
gegeben, welche zeigt, dass der relative Fehler von yy in erster Ordnung durch die Summe der relativen Fehler der xix_i abschätzbar ist.

Diese Ableitung stellt eine vereinfachte Behandlung dar, die unter Annahme kleiner Δxi\Delta x_i und somit einer linearen Näherung steht. In der Praxis ist es wichtig, die Größe der Δxi\Delta x_i zu überprüfen, um sicherzustellen, dass die lineare Näherung angemessen ist.
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