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Numerik - relativer Fehler erster Ordnung abschätzen
Um die gegebene Aufgabe zu lösen, betrachten wir den funktionalen Zusammenhang:
y=f(x1,...,xm) : =(xr+1⋅...⋅xm)c(x1⋅...⋅xr)
und wollen zeigen, dass der relative Fehler
yΔy bei Störungen in erster Ordnung wie folgt abschätzbar ist:
yΔy≤∑i=1mxiΔxi
Vorgehensweise:
1. Wir betrachten zunächst die Änderung
Δy von
y durch geringfügige Änderungen
Δxi in jeder der Variablen
xi.
2. Dann leiten wir
y partiell nach jeder der Variablen
xi ab, um den Effekt einer kleinen Änderung in
xi auf
y zu messen.
3. Danach drücken wir den relativen Fehler von
y aus.
4. Zum Schluss summieren wir die relativen Fehler der
xi auf, um die angegebene Ungleichung zu erreichen.
Schritt 1: Definition des relativen Fehlers
Der relative Fehler von
y ist definiert als
yΔy, und der relative Fehler von
xi als
xiΔxi.
Schritt 2: Partielle Ableitungen
Die partielle Ableitung von
y nach
xi für
i≤r (im Zähler) ist:
∂xi∂y=xr+1⋅...⋅xmc⋅x1⋅...⋅xi−1⋅xi+1⋅...⋅xr
Für
i>r (im Nenner) ist:
∂xi∂y=−(xr+1⋅...⋅xi−1⋅xi+1⋅...⋅xm)2c⋅(x1⋅...⋅xr)
Schritt 3: Relative Fehler
Nun nutzen wir die lineare Approximation, um den relativen Fehler durch die partiellen Ableitungen auszudrücken:
Δy≈∑i=1m∂xi∂yΔxi
Teilt man beide Seiten durch
y, erhält man:
yΔy≈∑i=1m∂xi∂yyΔxi
Da
y=(xr+1⋅...⋅xm)c(x1⋅...⋅xr), können die partiellen Ableitungen entsprechend durch
y ausgedrückt werden, was zu folgendem führt:
yΔy≈∑i=1rxiΔxi−∑i=r+1mxiΔxi
Beachten Sie, dass die negative Änderung für
i>r durch die Struktur der Funktion kommt und wir davon ausgehen, dass
Δxi so klein ist, dass das Vorzeichen des gesamten Terms positiv bleibt.
Schritt 4: Zusammenfassung
Da die Abschätzung den Betrag des relativen Fehlers betrachten sollte, wird die Ungleichung:
∣∣∣∣yΔy∣∣∣∣≤∑i=1m∣∣∣∣xiΔxi∣∣∣∣
gegeben, welche zeigt, dass der relative Fehler von
y in erster Ordnung durch die Summe der relativen Fehler der
xi abschätzbar ist.
Diese Ableitung stellt eine vereinfachte Behandlung dar, die unter Annahme kleiner
Δxi und somit einer linearen Näherung steht. In der Praxis ist es wichtig, die Größe der
Δxi zu überprüfen, um sicherzustellen, dass die lineare Näherung angemessen ist.