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Es seien \( f, g \in R[a, b] \) reellwertig. Zeigen Sie die Gleichheit

\( \begin{aligned} \left(\int \limits_{a}^{b} f(x)^{2} \mathrm{~d} x\right) \cdot\left(\int \limits_{a}^{b} g(x)^{2} \mathrm{~d} x\right)-&\left(\int \limits_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \\ &=\frac{1}{2} \int \limits_{a}^{b} \int \limits_{a}^{b}(f(x) g(y)-f(y) g(x))^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \end{aligned} \)

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dies lässt sich durch direktes Umformen beweisen. Es genügt zu zeigen, dass

\( f(x) f(x) g(y) g(y) - f(x)g(x)f(y)g(y) \)

\(= \frac{1}{2} f(x)g(y)f(x)g(y) - f(x)g(y)f(y)g(x) + \frac{1}{2} f(y)g(x)f(y)g(x) \).

Schon nach einem Schritt haben wir

\( f(x) f(x) g(y) g(y) = \frac{1}{2} f(x)g(y)f(x)g(y) + \frac{1}{2} f(y)g(x)f(y)g(x) \).

Da die Integrationsgrenzen für die Integrationsvariablen \( x \) und \( y \) gleich sind und das Integral zudem symmetrisch in diesen Variablen ist (I(x, y) = I(y, x)) und außerdem das Integral linear ist, lässt sich die rechte Seite zusammenfassen

\( f(x) f(x) g(y) g(y) = \frac{1}{2} f(x)g(y)f(x)g(y) + \frac{1}{2} f(y)g(x)f(y)g(x) \)

\(= \frac{1}{2}(2 f(x)g(y)f(x)g(y)) = f(x)g(y)f(x)g(y)\).

und die Aussage ist bewiesen.

MfG

Mister
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Ok, vielen Dank.

Habe jetzt noch die folgenden Fragen offen:

- Es gehören doch noch die Integralzeichen dazu, oder? Oder gilt die Beziehung dann automatisch auch für Integrale?

- woher kommt der 2. Punkt y ? Mir ist ehrlich gesagt nicht klar, wie man zu den Umformungen kommt. Die nachfolgende Argumentation hingegegen habe ich verstanden.


ja, ich habe die Integralzeichen weggelassen, um es übersichtlicher zu machen.

Was meinst du mit dem 2. Punkt y?

MfG

Mister



ich meine: woher kommt z.B. g(y) ? In der Ausgangsgleichung wird ja immer das Integral im Punkt x betrachtet. Welche Überlegungen führen dazu, dass ich einen zweiten Punkt y betrachte. Hoffe, das ist verständlicher.  
Achso, das kommt, weil ich zwei Integrale vermische. Dann muss ich die Integrationsvariablen so wählen, dass deutlich wird, dass sie verschieden sind (also \( x \) und \( y \) statt zweimal \( x \)):

\( \left(\int f(x)^2 dx \right) \cdot \left(\int g(x)^2 dx \right) = \left(\int f(x)^2 dx \right) \cdot \left(\int g(y)^2 dy \right) \) \( = \int\int f(x)^2 g(y)^2 dx dy \).

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