Sei A eine (nxn)Matrix, ... und bestimme alle reellen (2x2)-Matrizen A, die A2= - I (nicht 1 sondern groß i) erfüllen

Question

a) Sei A eine (nxn)-Matrix, die mit jeder anderen (nxn)-Matrix vertauschbar ist (d.h. AB=BA für alle B). Man zeige,dass es ein λ ∈|K mit A=λ*Id gibt. Hinweis: Man benutze, dass A insbesondere mit den Elementarmatrizen vertauschbar ist

b) Man bestimme alle reellen (2x2)-Matrizen A, die A²= - I  (nicht 1 sondern groß i) erfüllen

dies ist die Aufgabe an der ich schon länger sitze. Komme allerdings nicht wirklich weiter.

Comments

Wie habt ihr gross I und Id definiert? Sollen das grosse I in b) und Id in a) beides Einheitsmatrizen sein?

b) Könnte man einfach auflösen, wenn man die Theorie (noch) nicht gelesen hat:

A:=((a,b),(c,d))

A*A = ((a,b),(c,d))*((a,b),(c,d)) = (((a^2 + bc),(ab + bd)), ...... )= ((-1,0),(0,-1))

Gibt 4 Gleichungen für die 4 Unbekannten.

a^2 + bc = -1
ab + bd = 0
....

Und nun auflösen nach a,b,c und d.

Answer 1

a) hatte ich bereits vor längerer Zeit mal gemacht.
https://www.mathelounge.de/117106/bestimmen-alle-matrizen-der-a-a-b-…

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b)

A² = [a, b; c, d]² = [a² + b·c, a·b + b·d; a·c + c·d, b·c + d²] = [-1, 0; 0, -1]

a² + b·c = -1
a·b + b·d = 0
a·c + c·d = 0
b·c + d² = -1

Das solltest du jetzt zunächst mal versuchen selber zu lösen.