Matrix (0,1,2,1) vertauschen mit U (AB = BA).Zeigen dass U ein Unterraum von 2x2 Matrizen bildet

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Menge aller Matrizen B ∈R2×2,die mit der Matrix A = 0 1 2 1 vertauschen: U :={B ∈R^2×2 | AB = BA}

Zeigen Sie, dass die Menge U ein Untervektorraum des Vektorraums V = R2×2 aller reellen 2×2-Matrizen bildet.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe das mit dem vertauschen nicht, kann mir das einer erklären? Wie soll ich es vertauschen wenn ich garkein B gegeben habe? Soll ich es mit dem Ansatz A(B+C) = AB + AC lösen?

Answer 1

Wenn AB = BA ist, und B etwa die Matrix   u    v
                                                                    x    y

Dann bedeutet das

x                    y                            2v           u+v
2u+x            2v+y              =       2y            x+y

Also kurz :  x = 2v und  y = u+v

Alle Matrizen B, für die das gilt sehen also so aus:

      u               v
   2v               u+v

Jetzt musst du nur noch zeigen, dass diese wirklich einen

Unterraum der 2x2 Matrizen bilden.