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(ii) Die halbe Hauptachse einer Ellipse, die durch den Punkt

\( P=\left(3,-\frac{16}{5}\right) \)

geht und deren Mittelpunkt \( \left(x_{m}, y_{m}\right)=(0,0) \) ist, hat den Wert \( a=5 \).

Wie lautet die Gleichung der Ellipse in Normalform?

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Die Normalform der Ellipsengleichung in 1. Hauptlage mit Mittelpunkt ( 0 | 0 ) lautet:

( x2 / a 2 ) + ( y 2 / b 2 ) = 1

Durch die Aufgabenstellung sind gegeben: 

x = 3 , y = - 16 / 5 , a = 5

Der noch unbekannte Parameter b 2 muss nun bestimmt werden. Dazu setzt man die gegebenen Werte in die Ellipsengleichung ein und erhält:

( 9 / 25 ) + 256 / ( 25 b 2 ) = 1

Auflösen nach b 2 :

<=> 256 / ( 25 b 2 ) = 1 - ( 9 / 25 ) = 16 / 25 

Kehrbrüche bilden:

<=> 25 b 2 / 256 = 25 / 16

<=> 25 b 2 = 256 * 25 / 16 = 400

<=> b 2 = 16

 

Also lautet die gesuchte Ellipsengleichung:

( x2 / 25 ) + ( y 2 / 16 ) = 1

 

Probe

durch Einsetzen des Punktes P ( x | y ) = ( 3 | - 16 / 5 ) in die Gleichung:

( 9 / 25 ) + ( 256 / ( 25 *16 ) )

ausrechnen:

= ( 9 / 25 ) + ( 16 / 25  )

= 25 / 25

= 1

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