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Der Kreis (mit all seinen Geheimnissen)

Ermittle die Gleichung jenes Kreises, welcher durch die Punkte P(6/1) und Q(2/7) geht und dessen Mittelpunkt auf der Geraden g:3x+2y=7 liegt!

bitte mit Rechenschritten

   danke
von

1 Antwort

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Man kann hier relativ einfach mit der Mittelsenkrechten arbeiten.

Hast Du die beiden Punkte P und Q verbinde die beiden und bestimme die Gerade. Dann den Mittelpunkt feststellen und die Normale bestimmen. Schnittpunkt mit Normale und Geraden g ist der Mittelpunkt. Nun noch den Radius bestimmen (Abstand Mittelpunkt zu P oder Q) und fertig sind wir ;).

 

Gerade f (zwischen P und Q) bestimmen - Gleichung mit den Punkten P und Q aufstellen:

1=6m+b

7=2m+b

Nach b auflösen und gleichsetzen:

1-6m=7-2m           |+6m-7

-6=4m                     |:4

-3/2=m

Damit in Gleichung 1: 1=6*(-3/2)+b -> b=10

Die Gerade f lautet also y=-3/2*x+10. Den Mittelpunkt noch bestimmen, damit wir die Mittelsenkrechte durchlegen können:

Differenz der Werte halbieren und dazuzählen/abziehen -> S(4|4)

Damit können wir nun die Normale zu f im Punkt S bestimmen ;).

Aus der Orthogonalitätsbedingung: m=2/3

4=2/3*4+b -> b=4/3

n(x)=2/3*x+4/3

 

Das nun mit der Geraden schneiden (g(x) zuvor nach y auflösen):

n(x)=g(x)

2/3*x+4/3=-3/2*x+7/2

-> x=1

Damit in g(x) -> y=2

Der Mittelpunkt des Kreises befindet sich also bei M(1|2).

 

Noch den Radius bestimmen -> Strecke MP -> Differenz der Werte die quadriert addiert werden müssen:

6-1=5

2-1=1

√(52+12)=√26

 

Folglich lautet die Kreisgleichung:

(x-1)2+(y-2)2=26

 

Grüße

von 139 k 🚀

Aus der Orthogonalitätsbedingung: m=2/3

4=2/3*4+b -> b=4/3

n(x)=2/3*x+4/3

 

Das nun mit der Geraden schneiden (g(x) zuvor nach y auflösen):

n(x)=g(x)

2/3*x+4/3=-3/2*x+7/2

-> x=1

Damit in g(x) -> y=2

ab da verstehe ich nicht wie sind sie auf das gekommen??

Du meinst die Orthogonalitätsbedingung?

Es gilt die Beziehung der Steigungen zwischen Gerader und deren Normaler:

mg·mn=-1

Das nach mn auflösen und mg einsetzen und Du erhältst m=2/3 ;).

 

Grüße

es tut mir wirklich leid aber ich verstehe es trotzdem nicht wo ist bei mir mg und mn

und wie kommen sie am schluss auf m=2/3

und es tut mir echt leid

danke für ihre Hilfe

Wenn eine Gerade senkrecht auf einer anderen steht, dann gilt die Beziehung mg·mn=-1 bzgl ihrer Steigungen.

Dabei ist mg die Steigung der Geraden und mn die Steigung der Normalen. Die Steigung mg ist bereits bekannt. Bleibt in dieser Gleichung also nur noch die eine Unbekannte mn, welche wir dank obiger Bedingung bestimmen konnten.

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