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So, noch einmal eine Aufgabe von mir. Ich hoffe ich bin nicht völlig auf dem Holzweg. Die Aufgabe lautet;

Vereinfachen sie folgenden Ausdruck:

((B∧A)∨¬(¬B∨A))∨(¬(¬C∨¬A)∧(B∧¬A))

Ich habe hier zuerst die de Morgansche Regel angewendet. Somit lautet der Ausdruck dann;

((B∧A)∨(B∧¬A))∨((C∧A)∧(B∧¬A))

Mit Hilfe der Wahrheitstabelle (die ich Euch jetzt des Umfangs wegen ersparen möchte) habe ich herausgefunden dass sich der Teilausdruck (B∧A)∨(B∧¬A) ⇔ ((B∧A)∨(B∧¬A))∨((C∧A)∧(B∧¬A)) verhält.

Also kann ich den kompletten Ausdruck doch auf den Teilausdruck "kürzen", oder liege ich da falsch?

Falls ich damit richtig liege, ist es dann noch korrekt wenn ich den Teilausdruck nicht weiter kürze?

Ich danke Euch schon mal für Eure Mühe und wünsche eine angenehme Nach!
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Die Umformung des gegebenen Ausdrucks mit deMorgan zu

((B∧A)∨(B∧¬A))∨((C∧A)∧(B∧¬A))

ist korrekt.

In diesem Ausdruck hat der Teilausdruck ((C∧A)∧(B∧¬A)) immer den Wert FALSCH, da er aus lauter Konjunktionen besteht und man diese Konjunktionen umordnen kann zu (C∧B∧A∧¬A).
A∧¬A jedoch ist immer FALSCH und damit ist auch (C∧B∧A∧¬A) und damit auch ((C∧A)∧(B∧¬A)) immer FALSCH.

Somit gilt:

((B∧A)∨(B∧¬A))∨((C∧A)∧(B∧¬A))

<=> ((B∧A)∨(B∧¬A))

Der Wert dieses Ausdrucks jedoch hängt nur von B ab. Er ist WAHR, wenn B WAHR ist, denn dann ist entweder B∧A  oder B∧¬A WAHR. IST B jedoch FALSCH, dann ist sowohl B∧A  als auch B∧¬A FALSCH und somit auch der gesamte Ausdruck. Also:

<=> B

 

Also kann ich den kompletten Ausdruck doch auf den Teilausdruck "kürzen", oder liege ich da falsch?

Du liegst richtig.

Falls ich damit richtig liege, ist es dann noch korrekt wenn ich den Teilausdruck nicht weiter kürze?

Korrrekt ist das, aber du sollst doch wohl so weit wie möglich vereinfachen, nicht wahr? und der Teilausdruck

(B∧A)∨(B∧¬A)

lässt sich eben, wie ich gezeigt habe, noch weiter vereinfachen, nämlich zu B.

Avatar von 32 k
Super, ich danke Dir.

Den letzten Schritt habe ich völlig übersehen, obwohl er einem eigentlich vor die Füße geworfen wird.

Danke nochmal und eine gute Nacht!

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