Trigonometrische Funktion vereinfachen von f(r,ϑ,φ)=r²*sin²(ϑ)*sin²(φ)/ r²(sin²(ϑ)*cos²(φ)+sin²(ϑ)*sin²(φ)+cos²(ϑ))

Question

,

 

ich habe folgendes Problem.

Gegeben ist die Funktion f(x,y,z)=y²/ (x²+y²+z²)

Diese Funktion soll in Kugelkoordinaten ausgedrückt werden. Bekanntlich gilt hierbei:

x=r*sin(ϑ)*cos(φ)

y=r*sin(ϑ)*sin(φ)

z=r*cos(ϑ)

Nach dem einsetzen erhalte ich:

f(r,ϑ,φ)=r²*sin²(ϑ)*sin²(φ)/ r²(sin²(ϑ)*cos²(φ)+sin²(ϑ)*sin²(φ)+cos²(ϑ))

Das Problem ist nun, das ich nicht weiss, wie ich den Nenner kürzen kann. Laut meinem Prof steht nach dem kürze im Nenner nur noch r².

Danke schonmal für die Hilfe

Answer 1

Das hat nun nichts mit Kürzen zu tun. Du kannst die Klammer in Nenner vereinfachen.

(sin²(ϑ)*cos²(φ)+sin²(ϑ)*sin²(φ)+cos²(ϑ))  |sin^2 theta ausklammern

=(sin²(ϑ)*(cos²(φ)+sin²(φ))+cos²(ϑ))       |trig. Pythagoras

=((sin²(ϑ)*(1)+cos²(ϑ))

=((sin²(ϑ)*+cos²(ϑ))     | trig. Pythagoras

=1

Answer 2

y^2/(x^2 + y^2 + z^2)

= (r·SIN(s)·SIN(t))^2/((r·SIN(s)·COS(t))^2 + (r·SIN(s)·SIN(t))^2 + (r·COS(s))^2)

Man schaue sich den Nenner an

(r·SIN(s)·COS(t))^2 + (r·SIN(s)·SIN(t))^2 + (r·COS(s))^2
r^2·SIN(s)^2·COS(t)^2 + r^2·SIN(s)^2·SIN(t)^2 + r^2·COS(s)^2
r^2·(SIN(s)^2·COS(t)^2 + SIN(s)^2·SIN(t)^2 + COS(s)^2)
r^2·(SIN(s)^2·(COS(t)^2 + SIN(t)^2) + COS(s)^2)
r^2·(SIN(s)^2·1 + COS(s)^2)
r^2·(SIN(s)^2 + COS(s)^2)
r^2·1
r^2

Gesamt bekommt man also folgenden Term heraus:

= SIN(s)^2·SIN(t)^2