Question

Für welches t∈R hat das LGS keine Lösung ?

tx₁ + x₂ + x₃ = 1

x₁ + tx_{2 +}  x₃ = 1

x₁ + x₂ + tx₃ = 1

Ich habe diese aufgabe aus einer website entnommen. Es sind auch musterlösungen vorhanden die ich aber nicht nachvollziehen kann.

http://www.mathe-aufgaben.com/aufgaben/aufgaben-oberstufe.html

--> Übungsklausur 1, P1 c

Ich würde mich über Hilfe freuen

Answer 1

Bilde die Determinante der Koeffizientenmatrix und setze sie Null

DET([t, 1, 1; 1, t, 1; 1, 1, t]) = t^3 - 3·t + 2 = 0

t = -2 ∨ t = 1

was passiert für t = 1 und was passiert für t = 2. was ist für andere Werte von t?

Alternativ kann man das Gleichungssystem mit dem Gauss-Verfahren lösen.

Comments

Leider kann ich mit Determinante nichts anfangen. Das haben wir im Unterricht noch nicht besprochen. Aber trotzdem danke. Hast du vielleicht noch eine andere Idee?

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Wie gesagt mit dem Gauss-Verfahren auflösen. Das solltest du hinbekommen oder

t·x + y + z = 1
x + t·y + z = 1
x + y + t·z = 1

t*II - I, t*III - I

t^2·y - y + t·z - z = t - 1
t·y - y + t^2·z - z = t - 1

mal y und z ausklammern

(t^2 - 1)·y + (t - 1)·z = t - 1
(t - 1)·y + (t^2 - 1)·z = t - 1

wir wissen t^2 - 1 = (t + 1)·(t - 1)

(t + 1)·(t - 1)·y + (t - 1)·z = t - 1
(t - 1)·y + (t + 1)·(t - 1)·z = t - 1

jetzt durch t - 1 teilen achtung t = 1 geht als lösung verloren

(t + 1)·y + z = 1
y + (t + 1)·z = 1

(t + 1)*II - I

t^2·z + 2·t·z = t

durch t teilen

t·z + 2·z = 1

(t + 2)·z = 1

was passiert hier für t = -2 ?

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Kann man die Lösbarkeit des inhomogenen LGS über die Determinante bestimmen? Wenn die Determinante ungleich 0 ist, hat das LGS eine eindeutige nicht-triviale Lösung. Ist sie 0, kann das LGS aber entweder unendlich viele oder keine Lösung haben.

Ich würde also direkt von Anfang an mit dem Gauß-Verfahren prüfen, wann rg A = rg (A|b) gilt oder das für die beiden LGS mit t = -2 und t = 1 testen.

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Ich finde es einfacher zuerst die lösungen der determinante zu bestimmen. das geht bei 3x3 matrizen noch recht einfach.
dann kann man t einsetzen und den gauss anwenden. das erspart einem hier ziemliches rumgewusel mit den variablen.

Ich hätte allerdings auch den gauss etwas geschickter anwenden können als oben zu sehen.