Drei Weidestreifen, maximaler Platz bei Verwendung aller 140 m Zaun?

Question

Ein Bauer hat 140 m Zaun zur Verfügung und möchte damit drei gleich große rechteckige Weidestreifen nebeneinander abzäunen. Zwischen zwei benachbarten Streifen wird selbstverständlich nur ein Zaun gezogen.
a) Zeige, dass die eingezäunte Fläche bei Verwendung aller 140 m Zaun (70x-2x^2) m^2 beträgt, wenn die Weidestreifen eine Länge von x Metern haben.
b) Untersuche, welche Abmessungen die Weidestreifen haben müssen, damit sie zusammen eine möglichst große Fläche einnehmen.

Comments

Die 1. Ableitung ist dir ein Begriff?

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Ja, ist es. Ich kann bloß nicht damit umgehen, weil ich es nicht verstehe, ich kann ableiten und wieder aufleiten, aber ich weiß nicht wofür...

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f sei eine Funktion

f(x) ist dann der Funktionswert an der Stelle x

f'(x) ist die Steigung an der Stelle x [Herleitung über Differenzialquotient]

In Extrempunkten oder an Sattelpunkten ist die Steigung einer Funktion Null. Daher ist die Bedingung für einen Extrempunkt das die erste Ableitung Null wird.

f'(x) = 0

Answer 1

 

kleine Skizze zu dieser Aufgabe:

a)

I. Die Fläche beträgt A = x * y

Dabei gilt

4x + 2y = 140 | - 4x

2y = 140 - 4x | :2

II. y = 70 - 2x

II eingesetzt in I ergibt eine Fläche von

A = x * (70 - 2x) = 70x - 2x²

 

b)

Wann wird

A = f(x) = -2x² + 70x maximal?

f'(x) = -4x + 70 = 0 | notwendige Bedingung für Maximum

70 = 4x

x = 17,5

f''(x) = -4

f''(17,5) = -4 < 0 | hinreichende Bedingung für Maximum

Die Weidefläche ist also maximal für

Länge x = 17,5 (Meter)

Breite y = 70 - 2 * 17,5 = 70 - 35 = 35 (Meter)

 

Zaunlänge = 4 * 17,5 + 70 = 140

Eingezäunte Fläche = 17,5m * 35m = 612,50m²

 

Besten Gruß

Answer 2

Die Streifen haben eine breite von a und eine länge von b

Es gilt für die Zaunlänge

6·a + 4·b = 140
a = 70/3 - 2·b/3

Und für die Fläche

A = 3·a·b = 3·(70/3 - 2·b/3)·b = 70·b - 2·b^2


A' = 70 - 4·b = 0
b = 17.5

Die Streifen sollten eine Länge von 17.5 m haben damit die gesamte Fläche maximal wird.

Answer 3

Da ich nicht weiß, ob ihr schon Ableitungen von Funktionen hattet, deswegen löse ich b) ohne Differentialrechnung:

Also, es ist gegeben A(x) = -2*x² + 70x.

Mathematisch ist es nichts anders als eine quadratische Funktion (Parabel). Diese Parabel ist nach unten geöffnet, da vor dem x² was Negatives steht. Und das ist auch gut so, dann somit liegt der Scheitelpunkt der Funktion am "höchsten Punkt", was im Grunde ein Maximum repräsentiert.

Also, ist doch die Frage, welchen x-Wert der Scheitelpunkt (entspricht dem Maximum) hat?

Es war  A(x) = -2*x² + 70x. a = -2, b = 70 und c = 0

Formel für x-Koordinate des Scheitelpunktes = - b/(2*a) = -70/(2*(-2)) = + 35/2 = 17,5 (m)

aus den Ergebnissen aus a) kann nun die zweite Seite des Rechteckes ermitteln werden: y = 70 - 2*x = 35 (m)