Integrale berechnen ohne Grenzen: ∫ x*e^{x/2} dx

Question

Ich weiß nicht, wie ich dieses Integral berechne, wenn keine Grenzen vorgegeben sind.

\( \int x e^{\frac{x}{2}} d x \)

Comments

Wenn keine Grenzen vorliegen, ist das Integral unbestimmt. Als Lösung bekommst du eine Stammfunktion heraus mit einer additativem Konstanten

z. B. ∫2*x*dx = x² + c

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2(x-2)e^x/2 +C !! Es müsste stimmen !

Answer 1

Du sollst die Stammfunktion bilden. Mehr nicht.

Hierzu braucht man die partielle Integration
u = x
u ´ = 1
v = 2 * e^{x/2}
v ´ = e^{x/2}

∫ u * v ´ =   u * v - ∫  u ´ * v
∫ x * e^{x/2} =   x * 2 * e^{x/2}   - ∫  1 * 2 * e^{x/2}
∫ x * e^{x/2} =   x * 2 * e^{x/2}   - 2 * ∫  e^{x/2}
∫ x * e^{x/2} =   x * 2 * e^{x/2}   - 2 *  2 * e^{x/2}
∫ x * e^{x/2} =   2 * e^{x/2}  * ( x  - 2  )
Probe durch Ableitung der Stammfunktion
[ 2 * e^{x/2}  * ( x  - 2  ) ] ´ = 2 * [ e^{x/2}  * ( x  - 2  ) ] ´
2 * [  e^{x/2} * 1/2  * ( x - 2 ) + e^{x/2} * 1 ]
2 * e^{1/2} [ 1/2 * x - 1 + 1 ]
2 * e^{1/2} [ 1/2 * x ]
e^{1/2}  * x   | stimmt

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

Comments

Danke Georg.

Woher bekommst du die 2 in der vierten Zeile?

Steh aufm Schlauch ;)

LG

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Falls du das meinst
∫  e^x/2 = 2 * e^x/2

denn
 [ 2 * e^x/2 ]  ´
2 * e^x/2 * 1/2
e^{x/2}

Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg

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Ne meinte eigentlich die:

∫ x * ex/2 =   x * 2 * ex/2   - 2 *  2 * ex/2

?

LG

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1.) ∫ x * ex/2 =   x * 2 * e^{x/2}   - 2 *  2 * e^{x/2}
2.) ∫ x * ex/2 =   x * 2 * e^{x/2}   - 2 *  2 * e^{x/2}
3.) ∫ x * ex/2 =   x * 2 * e^{x/2}   - 2 *  2 * e^{x/2}

Welche hervorgehobene 2 meinst du : In Zeile
1, 2 oder 3

mfg Georg
 

Answer 2

also für dieses Integral kann man mithilfe der partiellen Integration die Stammfunktion bestimmen

Allgemein: $$ \int f(x)\cdot g´(x)=f(x)\cdot g(x)-\int f´(x)\cdot g(x) $$ wobei hier $$ f(x)=x$$ und $$g´(x)=e^{\frac{x}{2}}$$

Das heißt hier es gilt: $$2xe^{\frac{x}{2}}-2\int e^{\frac{x}{2}} dx$$ Nun kannst du im Integranten  $$e^{\frac{x}{2}}$$ den Exponenten $$\frac{x}{2}$$ mit $$u$$ substituieren.

Anwenden der Substitutionsregel: $$u=\frac{x}{2}$$ und $$du=\frac{1}{2}dx$$ ergibt das $$2xe^{\frac{x}{2}}-2\int e^{\frac{x}{2}} dx = 2xe^{\frac{x}{2}}-4\int e^u du$$

Nach Rücksubstitution ergibt sich: $$\int x\cdot e^{\frac{x}{2}} dx = 2e^{\frac{x}{2}}(x-2)$$

Answer 3

Du sollst dann nur eine Stammfunktion bestimmen. Hier würde man es mit partieller integration machen

∫ x/2x·e dx = e^{x/2}·(2·x - 4) + c