Wann ist eine Matrix diagonalisierbar?

Question

Frage steht oben.

Mir ist bis jetzt nur bekannt, dass man algebraische und geometrische Vielfachheit auf Gleichheit überprüft.

Gibt es noch andere Tricks?

Answer 1

Wenn das Minimalpolynom in Linearfaktoren zerfällt, deren Vielfachheit 1 ist.

Comments

Bei mir gehts um die Jordan Chevalley Zerlegung.

Ich spezifizier die Frage nochmal: " Angenommen mein Charakteristisches Polynom hat nur eine Nullstelle also einen Eigenwert, und das Polynom ist in der Darstellung (X-T)ⁿ  wobei T mein Eigenwert ist, und n>1 gibt es hier eine Möglichkeit zu überprüfen, ob die Matrix diagbar ist?

Trotzdem vielen Dank für die Antwort!

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Korrigiert mich wenn ich falsch liege, aber da wie gesagt das Minimalpolynom in Linearfaktoren mit Vielfachheit 1 zerfallen muss und gleichzeitig nach caley hamilton das Minimalpolynom =0 sein muss, wenn man die Matrix an sich einsetzt, muss man folglich nur prüfen, ob (A-T)=0 ist. (0 ist natürlich die Nullmatrix)

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Das stimmt, aber wenn man vorher wüsste ob die Matrix diagbar ist, kann man sich noch mehr Arbeit ersparen.

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Also mit weniger, als zu wissen, dass du nur einen Eigenwert hast und dann nur von einer Matrix eine Diagonalmatrix abzuziehen geht es nicht (These)

Answer 2

Es gibt so einige Kriterien für die Diagonalisierbarkeit von Matrizen.

1. Wenn S existiert, so dass \( S^{-1} A S = D \) eine Diagonalmatrix ist

2. Wenn von allen Eigenwerten geometrische und algebraische Vielfachheit übereinstimmt

3. Wenn es n paarweise verschiedene Eigenwerte gibt

4. A ist reell und symmetrisch

und bestimmt noch mehr.